38 I- Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
Ausdruck charakterisierten Zahl, und wir sind ohne weiteres im stände, 
sie mit irgend einer andern Zahl zu vergleichen. Bevor wir aber das 
Rechnen mit den systematischen Zahlen beginnen können, müssen wir 
noch kurz die Rechenoperationen für die in diesem Paragraphen als 
Zahl eingeführte Null definieren. 
B. Definition der Rechenoperationen für die Zahl Null. 
Wenn in einer Menge A sich a Dinge von bestimmter Art be 
finden, in einer andern Menge N dagegen kein Ding derselben Art, 
•so enthält die durch Vereinigung von A und N entstandene Menge 
•auch genau a Dinge dieser Art, daher a + 0 = 0 + a = a. Nach der 
Erklärung der Subtraktion (§ 4 A) folgt hieraus sofort a — 0 == a und 
a Summanden 
a — a = 0. Weiter ist 0 • a = 0 -f0-| 1-0=0. a • 0 hat zunächst 
keine Bedeutung. Um auch dieses Symbol als Produkt auffassen zu 
können, für welches das kommutative Gesetz gilt, definieren wir 
a • 0 = 0 • a = 0. Daraus ergibt sich (nach der Definition des Quo 
tienten §6A) 0 : a = 0, 0 : 0 = a, während die Aufgabe 6:0, wo b 
irgendeine von Null verschiedene Zahl bezeichnet, durch keine Zahl 
unseres Zahlenbereiches gelöst wird. Da also die Division durch Null 
entweder unausführbar ist oder (wenn der Dividend auch gleich Null) 
der Quotient jede beliebige Zahl sein kann, schließen wir Null als 
(a Faktoren) 
Divisor aus. 0“ = 0 • 0 •••0 = 0. Unter dem Zeichen a°, das an sich 
keinen Sinn hat, verstehen wir, damit die Formel a m :a n =a m ~ n (§ 7B, (II)) 
auch noch für m = n gelte, die Zahl 1. Es ist ferner j/O =0, 
y 1 = jeder beliebigen Zahl n; die durch das Symbol ausge 
sprochene Forderung wird, falls 6 von 1 verschieden ist, von keiner 
Zahl erfüllt, so daß wir 0 auch als Wurzelexponenten ausschließen. 
Aus a° = 1 folgt, daß log 1 für jede beliebige Basis a gleich 0 
ist. Weil a m , falls a > 0, stets von 0 verschieden ist, besitzt die 
Zahl 0 für keine von Null verschiedene Basis a einen Logarithmus. 
Da für die Basis 0 der Logarithmus von 0 gleich jeder beliebigen 
Zahl sein kann, der Logarithmus einer von Null verschiedenen Zahl 
aber nicht existiert, werden wir Null auch nicht als Basis von Log 
arithmen wählen. Nach den hier gegebenen Definitionen der Rechen 
operationen für die Zahl Null bleiben alle in den §§ 3—8 entwickelten 
Formeln auch richtig, wenn für einen oder mehrere der in ihnen vor 
kommenden Buchstaben 0 gesetzt wird, vorausgesetzt nur, daß sie 
dann in dem Bereiche der natürlichen Zahlen überhaupt noch eine 
Bedeutung besitzen.