§ 10 F. Division der systematischen Zahlen. 43 
die Produkte im 
äse die Werte von 
Durch Probieren, das durch die Kenntnis des Einmaleins unter 
stützt wird, hat man jetzt festzustellen, ob die in der Ungleichung 
usw. 
eingeschlossene Summe ein Vielfaches von A ist, bezüglich zwischen 
welchen Vielfachen von Ä sie liegt. Es sei ermittelt 
r Rechnung auch 
Vorlesungen über 
c r 9 q + c r _^- x H + c r _ Q+1 g + c r _ ? = b 0 A + A 0 , 
wo b 0 eine der Zahlen 1, 2, ... g — 1 bedeutet und 
0 <A 0 <A. 
Dann läßt sich C in der Form schreiben: 
ten der Potenzen 
;reten ; ohne üm- 
iis dem Produkte 
Faktor B in der 
m+n zunächst b m , 
. Da dieses Ver- 
1 geschrieben ist, 
inerte der Koeffi- 
inen andern Weg 
C = (b 0 A -f A 0 )g r -Q + c r _ Q _ 1 • g r ~ i> ~ 1 + • • • + c t g -f c 0 
= h 0 Ag r ~Q + {gA 0 + c r _ Q _ 1 )g r -^~ 1 -f + c x g + c 0 . 
Aus 
A 0 < A - 1 
folgt 
gA 0 <gA — g, 
also: 
gA 0 + c r _ Q _ 1 < gA. 
Bringt man jetzt gA 0 + c r _ x wieder auf die Form 
b x A A A 1; wo 0<& 1 <^, 0<^4 1 <J., 
) 
on g das Produkt 
ln der Reihe der 
so kann man setzen: 
C = b 0 Ag r ~v + b 1 Ag r -v~ 1 + (gA x + c r _ ? _ 2 )# r -?- 2 -j h c u g + c 0 . 
In derselben Weise fortfahrend, erhält man schließlich 
-/) 
Auf eine solche 
dl, wenn die Di 
li also 
C = b 0 Ag r ~Q + h 1 Ag r -d~ 1 + b 2 Ag r ~^~ 2 H 
+ h r _ Q _ t Ag -f (gA r _ Q _ 1 + c 0 ), 
wo 
1 <LK<9, 
s e r g* 
+c r _ Q+1 g + c r _ Q . 
für g = 1, 2, ... (r — q — 1), und 
0 <gA r _ Q _ 1 + c 0 <gA. 
Es sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden: 
-Q +1 + 1 
1. gA r _Q_ x -f c 0 ist ein Vielfaches von A oder Null, kann also auf 
die Form b r _^A gebracht werden, wo b r _ eine der Zahlen 
? + i 9 + 9, 
■0, 1, .¿i, ... (jg Ij bedeutet. In diesem Falle ist 
c—a- (b^-s + \f-e- 1 + ■ ■ • + K-v-^g + K- 9 ) ■ 
} <gA- 
Die Klammer stellt alsdann den gewünschten Quotienten, und 
zwar in der Form einer systematischen Zahl b 0 b x ... b r _ 1 b r _ a 
dar.