§ 10 H. Übergang von einem Zahlensystem zu einem mit anderer Grundzahl. 51 
i die dritte Potenz 
ben Zahl die dritte 
gen zu vermeiden, 
haben wir vorläufig keine andere Möglichkeit, als durch wiederholte 
Multiplikation die aufeinander folgenden Potenzen von a zu berechnen 
und zu prüfen, ob für einen Exponenten n, bezüglich für welchen 
nel 
j 
a n = p ist. 
H. Übergang von einem Zahlensystem zu einem mit anderer Grundzahl. 
Will man die im System (1i) gegebene Zahl 
■9 + a o) 3 
a n-i ‘ g 3n ~ z 
• g 3n ~ 5 + g 3n ~* 
h m h m + b m _ 1 h m ~ 1 + ■•• + &!* + \ 
als Zahl des Systems (g) darstellen, so hat man nur die Grundzahl 
h und die Koeffizienten b m , h m _ i , . . . b lf h 0 im System (g) zu schreiben 
und dann eine Reihe von Potenzierungen, Multiplikationen und Addi- 
a 2 g + a^ajg + a 0 s 
•• + C 2# 2 + G£ + G); 
tionen auszuführen. 1 ) Soll z. B. die Zahl 4968 des Zehnersystems in 
das System mit der Grundzahl 12 übertragen werden, so setze man 
4963 = 4£ 3 +9£ 2 + 6£ + 3. 
, 2,... (<j — 1) hat. 
ie Kubikwurzel zu 
dche 
Da 
£2 =84 , £3 = 84 . 6f4j 
so ergibt sich: 
(X) 4963 = (XII) 2394 + 630 + 50 + 3 
-(XII)2g57. 
3 
n 
Im folgenden werden wir, wenn nicht das Gegenteil ausdrücklich 
gesagt ist, als Basis des Zahlensystems stets die Zahl 10 wählen. 
' 2 + C 3 n -29 + C 3 n-S, 
§11. Die grundlegenden Sätze über die Teilbarkeit der Zahlen. 2 ) 
i Seite gleich d n _ 1 
e 
A. Gemeinschaftliche Teiler mehrerer Zahlen. 
Schon in § 6 A ist gesagt, daß, wenn unter drei Zahlen a, t, m 
die Gleichung 
7 + c s n -6> usw - 
a = t ■ m 
iie Quadratwurzel- 
besteht, a ein Vielfaches von t und t ein Teiler von a heißt. 
Wenn a — 0, m = 0, ist die Gleichung für jede Zahl t erfüllt; jede 
ch analoge Metho- 
Wurzelexponenten 
ten wird aber die 
i andere Verfahren 
sn. 
Zahl p in bezug 
Basis a zu finden, 
Zahl kann also als Teiler von 0 angesehen werden. Wenn anderer- 
1) Mit den Beziehungen, welche zwischen den Darstellungen ein und der 
selben Zahl (hauptsächlich allerdings eines echten Bruches) in zwei verschiedenen 
Systemen bestehen, beschäftigt sich J. Kraus in der Zeitschr. f. Math. u. Phys., 
Bd. 37 (1892), S. 321 u. Bd. 39 (1894), S. 11. 
2) Diese Sätze finden sich in der Hauptsache schon in den berühmten 
„Elementen“ des Euklid, der um 300 v. Chr. zu Alexandria lebte. Wir folgen 
hier im wesentlichen der Darstellung in den „Vorlesungen über Zahlentheorie“ 
von Lejeune Dirichlet, herausgegeben von R. Dedekind, und gehen auf 
das Thema nicht weiter ein, als es für das nächste Kapitel notwendig erscheint. 
4*