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52 I- Kapitel. Die natürlichen Zahlen 
seits t = 0, so muß auch a = 0 sein, d. h. keine von 0 verschiedene 
Zahl kann 0 als Teiler haben. 
Aus dem Assoziationsgesetze der Multiplikation (§ 5 B, II) ergibt 
sich unmittelbar der Satz: 
I. Ist x ein Teiler von t und t wieder ein Teiler von a, 
so ist auch x ein Teiler von a. 
Aus dem Distributionsgesetze der Multiplikation (§ 5 C, I, II, IV) 
folgt der Satz: 
II. Ist t gemeinschaftlicher Teiler von a und b, d. h. so 
wohl Teiler von a als auch Teiler von b, so ist t auch Teiler 
von a -f- b und a — b. 
Der Satz gilt auch für eine Summe aus beliebig vielen Sum 
manden. 
Einen gemeinschaftlichen Teiler besitzen irgend zwei beliebige 
Zahlen a, b, nämlich die Zahl 1. Wenn sie keinen andern haben, 
sagt man von ihnen, indem man von diesem selbstverständlichen 
Teiler absieht, sie seien ohne gemeinschaftlichen Teiler oder .teiler 
fremd oder relativ prim. Da kein gemeinschaftlicher Teiler von a, b 
größer als die kleinere dieser beiden Zahlen sein kann, muß einer 
ihrer gemeinschaftlichen Teiler der größte sein. Die Aufsuchung 
dieses größten gemeinschaftlichen Teilers zweier Zahlen ist eine außer 
ordentlich wichtige Aufgabe, die schon Euklid gelöst hat (Elemente, 
Buch VH, Nr. 2, Ausg. von Heiberg, Bd. 2, S. 191). Wenn etwa 
a = &, so ist natürlich der gemeinsame Wert beider Zahlen gleich 
zeitig auch ihr größter gemeinschaftlicher Teiler. Bezeichnet man 
andernfalls die größere der beiden Zahlen mit a, so dividiere man 
a durch b. Entweder geht die Division auf, oder es bleibt ein 
Rest. 1 ) Im ersten Falle ist b der größte gemeinschaftliche Teiler, 
im zweiten besteht, wenn wir den Quotienten mit m und den Rest 
mit b 1 bezeichnen, die Gleichung 
a = bm -f b 1} wo b t < b. 
Durch Division von b durch b t erhalte man weiter die Gleichung 
b = b x m x + b 2 , wo b 2 < b t . 
Dieses Divisionsverfahren setze man so lange fort, bis die Division 
aufgeht, also der Rest 0 bleibt, was notwendig einmal eintreten muß, 
weil ja jeder folgende Rest kleiner als der vorhergehende ist. Auf 
diese Weise erhalte man die folgende Kette von Gleichungen: 
1) Ygl. § 10 F, S. 42—44.