NOTIONS GENERALES SUR LES CONGRUENCES. 
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iiences les plus générales, dispa- 
dc rebroussement d’une surface 
de en tous les points de laquelle 
comme indéterminé. 
(G), (G') les arêtes de rebrous- 
sur la première et la seconde 
ippables que nous venons de dé- 
3S, avant pour arêtes de rebrous- 
it la seconde nappe suivant des 
nt pour arêtes de rebroussement 
ne la première nappe suivant des 
géométrique à peu près évidente, 
leux familles de courbes tracées 
u (G') et (D'). Les tangentes aux 
;s où ces courbes rencontrent une 
>ar hypothèse, une surface déve- 
oussement sur la seconde nappe, 
ment un système conjugué sur la 
les courbes (G') et (D') forment 
nde nappe. Ainsi : 
face focale, les courbes corres- 
développables forment an sys- 
les arêtes de rebroussement de 
•veloppables; les autres sont les 
pables de Vautre série. 
lions précédentes est très féconde 
Je résoudre différentes questions, 
e problème suivant : 
e (S) une famille de courbes (G). 
forment une congruence dans 
des deux familles de dévelop- 
’idrécs par les tangentes aux 
>ose de définir les développables 
Il est clair, d’après ce qui précède, qu’il faudra associer aux 
courbes (G) leurs conjuguées (D) sur (S). Les tangentes aux 
courbes (G) en tous les points d’une courbe (D) engendreront les 
développables de la seconde famille. La détermination de ces dé 
veloppables exigera l’intégration d’une équation du premier ordre 
et du premier degré, celle des courbes (D). 
La construction précédente montre immédiatement que, si les 
courbes (G) sont des lignes asymptotiques, et seulement dans ce 
cas, elles coïncident avec les courbes (D). Ainsi les congruences 
dans lesquelles les deux points focaux sont constamment con 
fondus, les deux nappes de la surface focale se réduisant à une 
seule (S), sont formées de l’un des deux systèmes de tangentes 
asymptotiques de (S). Ge résultat est en parfait accord avec celui 
qui a été démontré au n° 316. 
321. Les propositions précédentes subissent des modifications 
qu’il est aisé de prévoir dans le cas où l’une ou l’autre des deux 
nappes de la surface focale se réduit à une courbe. Alors les dé 
veloppables qui avaient leur arête de rebroussement sur cette 
nappe se réduisent aux cônes engendrés par les droites de la con 
gruence qui coupent en un même point la courbe à laquelle se 
réduit la nappe considérée. 
Proposons-nous de déterminer, dans ce cas spécial, la seconde 
famille de développables de la congruence. Donnons-nous les 
équations de la courbe focale sous la forme 
x /(-)' r--?(*); 
les équations qui déterminent une droite de la congruence seront 
de la forme 
X(Z 
), 
Y — y = fJ-(Z — æ). 
X, Y, Z étant les coordonnées variables et p. une fonction de X et 
de z déterminée par la définition de la congruence. Pour obtenir 
les développables, nous exprimerons que la droite représentée par 
les équations précédentes est rencontrée par une droite infiniment 
voisine de la congruence; c’est-à-dire que nous associerons aux