561 .
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1772.
qui si fuerint diversi ab iis, quos ante sumus assecuti, etiam infiniti alii habebuntur numeri primi,
qui in compositionem numeri s ingredi possunt. Singuli enim isti numeri, quos litteris A, B, C, D
designemus, per 2 multiplicati, idoneos praebent valores pro s, qui ergo erunt: 2a, 26, 2c, 2d, etc.
Et quia producta ex binis eorum etiam satisfaciunt, hinc nascentur numeri impares,
, ab, ac, ad, bc, bd, cd, etc.
Ita in exemplo acx — 3yy = szz, formula r ' c statim dat —1. Quum ergo pro hoc casu
inventa sit formula s = 12 /i 1, pro valoribus ipsius h habebimus formulam l2/i— S, sive
12/i-f- 11, quae praebet hos numeros primos: 11, 23, V7, 59, 71, 83, qui duplicati omnes etiam
satisfaciunt, atque etiam producta ex eorum binis, tum vero etiam producta ex his in singulos eorum,
quos ante jam assignavimus; hocque pacto multitudo valorum compositorum vehementer augetur. Hoc
praecipue iis casibus usu venit, ubi formulae supra inventae ex paucioribus membris constabant. Pro
formula autem xx -f- 7yy = szz, ejus dimidium X;C 7,77 praebet k, sive 1 =u, qui valor quum
jam in formula supra data contineatur, hinc novi valores non oriuntur. At vero formula xx - ~
praebet a — — 3, ideoque valores pro h erunt 28 /r -4— v 25, i, 9), qui numeri jam antea occur
runt. Hoc ergo probe observare oportet eum, qui etiam omnes numeros compositos pro s satisfa
cientes investigare voluerit, unde huic negotio immorari superfluum foret.
§ 35. Schollon 2. Quantumvis autem haec egregia yideantur, utique hic erit dolendum,
quod nondum firmis demonstrationibus sunt munita, cujus rei ratio potissimum in eo sita videtur,
quod formulae pro s inventae eatenus tantum valent, quatenus numeros primos suppeditant. Quam
quam autem omnes labores a me suscepti spem meam fefellerunt, tamen spero, conatus meos iis,
qui hujusmodi speculationibus delectantur, non fore ingratos, praecipue quia jam memoratam illam
difficultatem circa numeros primos de medio sustuli, ita ut nunc sine dubio aditus ad ista nume
rorum mysteria non mediocriter facilior reddi videatur.
§ 36. Propositio I. Si fuerit fxx -j- gyy = szz, existente s numero primo, tum
si omnia quadrata per hunc numerum s dividantur et residua ex singulis enata no
tentur, inter ea semper occurret —fg, sive sublata negatione, s — fg.
Demonstratio. Sint residua illa ex divisione per s orta, i, a, b, c, d, etc., ac praebeat
quadratum xx residuum a, quadratum vero yy residuum 6, atque evidens est numerum fagb
per s fore divisibilem. Sit ergo fa-\~ gb — h, eritque gb == Is — fa, ideoque bgg=Xgs — fga.
Quum jam omne residuum, in quadratum ductum, iterum inter residua occurrat, siquidem infra
s deprimatur, prodeat inde residuum c, ita ut sit c = hgs — fga, et multiplo ipsius s sublato
c = — fga, sive c = s — fga, et quia hoc aeque valet de omnibus residuis, loco a sumentes uni
tatem habebimus: c = — fg, sive c = s — fg.
§ 37. Coroll. 1. Si ergo satisfaciat vaior s = h, quia formula knfg-\- h, si fuerit numerus
primus, etiam satisfaciat pro s, si per hunc numerum omnia quadrata dividantur, inter residua certo
occurret — fg.
