Sur la démonstration de la proposition XX,
liv. /, et de quelques autres propositions
fondamentales de la géométrie.
La proposition XX du livre I n’est qu’un cas particulier
du fameux postulatum sur lequel Euclide a établi la théorie
des parallèles, ainsi que le théorème sur la somme des
trois angles du triangle. Ce postulatum n’a point été encore
démontré d’une maniéré entièrement géométrique et indé
pendante de la considération de l’infini ; ce qu’il faut
attribuer sans doute à l’imperfection de la définition de la
ligne droite, qui sert de hase aux éléments. Mais si on
considéré cet objet sous un point de vue plus abstrait,
l’analyse offre un moyen très-simple de démontrer rigou
reusement cette proposition, ainsi que les autres proposi
tions fondamentales de la géométrie. C’est ce que nous
allons développer avec tout le détail nécessaire, en com
mençant par le théorème sur la somme des trois angles du
triangle.
On démontre immédiatement par la superposition, et
sans aucune proposition préliminaire que deux triangles
sont égaux, lorsqu ’ils ont un côté égal adjacent à deux
angles égaux chacun à chacun. Appelons p le côté dont il
s’agit, A et B les deux angles adjacents , C le troisième
angle. Il faut donc que l’angle C soit entièrement déter
miné , lorsqu’on connaît les angles A et B, avec le côté p ;
car, si plusieurs angles C pouvaient correspondre aux trois
données A, B,p, il y aurait autant de triangles différents
qui auraient un côté égal adjacent à deux angles égaux, ce
qui est impossible : donc l’angle C doit être une fonction
déterminée des trois quantités A, B ,p; ce que j’exprime
ainsi, C =
Soit l’angle droit égal à l’unité, alors les angles A, B, C,
seront des nombres compris entre o et 2 ; et puisque C —
) , je dis que la ligne p ne doit point entrer dans
la fonction (p. En effet on a vu que C doit être entièrement
