NOTE III.
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NOTE III.
Sur Vapproximation de la proposition XVI,
livre IV.
Dès qu’on a trouvé un rayon excédent et un déficient qui
s’accordent dans les premiers chiffres , on peut achever le
calcul d’une maniéré très-prompte par le moyen d’une for
mule algébrique.
Soit a le rayon déficient et h l’excédent, dont la diffé
rence est petite ; soient a' et b' les rayons suivants qui s’en
déduisent par les formules b'—\/ ab, a! z=z[/ya.-—-
Ce que l’on cherche, c’est le dernier terme de la suite a, a',
a", etc., qui est en même temps celui de la suite b , b', b",
etc. Appelons ce dernier terme x, et soit b-=za (1 —f- ) ;
on pourra supposer x. — a (1 -J-P0) + Qw 2 -j-etc. ), P et Q
étant des cocffiçients indéterminés. Or les valeurs de b' et a’
donnent
b' ■=. a ( 1 + l -(à — jW 2 -f-etc. ) ;
ô'=a(i —|—| oj 2 — 3^co 3 -l-etc. ).
Et si on fait pareillement ( 1 -f-w'), ou aura
w'=j(ii—-^to 2 etc.
Mais la valeur de x doit être la même, soit que la suite a,
a\ a!\ etc. commence par a ou par a'; donc on aura
«(i-f Pw-fQw’-f etc.) = rt' (1 -j-Pto'-f-Q w' 2 -|-etc.).
Substituant dans cette équation les valeurs de a' et de ta'
en a et w, et comparant les termes semblables, on en dé
duira P = ^,etQr=—; donc
x—a ( 1 -f- ¿-w— rjW 1 ).
Si les rayons a et b s’accordent dans la première moitié de
leurs chiffres, on pourra rejeter le terme w 2 , et la valeur
, . b — a
precedente se réduira à x — ¿7(1 —5- co ) zzrr « —|
Ainsi, en faisant, a— 1, 1282657 , et £= 1, i286o63,on
en déduira immédiatement x— i, 1283792.
Si les rayons a et b ne s’accordent que dans le premier
tiers de leurs chiffres , il faudra prendre les trois termes de
la formule précédente ; ainsi en faisant a— 1, 1265689 cl
h—i, 1820149, on trouvera x = x, 1283791.
