N O T K IV. 
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iiest clair que, w étant irrationnelle, toutes les quantités 
a', <ù", a" , doivent l’étre pareillement. Or, la derniere J" 
est égale à la fraction continue proposée ; donc la valeur de 
celle-ci est irrationnelle. 
Nous pouvons maintenant, pour revenir à notre sujet, 
démontrer cette proposition générale. 
THEOREME. 
Q 1 
in 
5 n- 
Si un arc est commensurable avec le rayon, sa tangente 
sera incommensurable avec le meme rayon. 
En effet, soit le rayon =z i, et l’arc x — —, m et n étant 
n 
des nombres entiei’S , la formule trouvée ci-dessus donnera, 
en faisant la substitution , 
m m. 
tang. —~— m 2 
n n— /n 2 
m 2 
7 n— etc. 
Or cette fraction continue est dans le cas du lemme II; car 
il est clair que les dénominateurs 3 n, 5 n, 7 n, etc. aug 
mentant continuellement , tandis que le numérateur m 2 
reste delà même grandeur, les fractions composantes seront 
ou deviendront bientôt plus petites que l’unité, donc la 
m 
valeur de tang. — est irrationnelle ; donc, si Varc est com- 
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mensurable avec le rayon , sa tangente sera incommen 
surable. 
De là résulte , comme conséquence très-immédiate, la 
proposition qui fait l’objet de cette note. Soit tz la demi- 
circonférence dont le rayon est 1 ; si tz était rationnel, l’arc 
- le serait aussi, et par conséquent sa tangente devrait être 
4 
irrationnelle : mais on sait, au conti’aire, que la tangente 
de l’arc — est égale au rayon 1 ; donc tz ne peut être ration- 
4 
nel. Donc le rapport de la circonférence au diamètre , est 
un nombre irrationnel (1). 
( 1 ) Cette proposition a été démontrée pour la premiere fois par 
Lambert, dans les Mémoires de Berlin, année 1761.