NOTE Vili. 
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Nous terminerons ces applications par la recherche d». 
nombre de conditions ou données nécessaires pour déter 
miner un polyèdre; question intéressante, et qu’il ne paraît 
pas qu’on ait encore résolue. 
Supposons d’abord que le polyèdre soit d’une espece dé 
terminée, c’est- à-dire qu’on connaisse le nombre de ses 
faces, le nombre de leurs côtés individuellement, et leur 
disposition les unes à l’égard des autres. On connaît donc 
les nombres H, S, A, ainsi que a, b, c, d, etc. ; il ne s’agit 
plus que d’avoir le nombre de données effectives , lignes ou 
angles, par le moyen desquelles le polyèdre peut être cons 
truit et déterminé. 
Considérons une des faces du polyèdre que nous pren 
drons pour sa base. Soit n le nombre de ses côtés ; il faudra 
2«— 3 données pour déterminer cette base. Les angles 
solides hors de la base sont au nombre de S — n ; le som 
met de chaque angle exige trois données pour sa détermi 
nation; ainsi la position de S — n sommets exigerait 3S — 
3n données, auxquelles ajoutant les 2/2— 3 de la base, 
on aurait en tout 3S — n— 3. Mais ce nombre est en gé 
néral trop grand, il doit être diminué du nombre de con 
ditions nécessaires pour que les sommets qui répondent à 
une même face soient dans un même plan. Nous avons 
appelé n le nombre de côtés de la base, appelons de même 
n', n", etc. les nombres de côtés des autres faces. Trois 
points déterminent un plan ; ainsi ce qui se trouvera de 
plus que 3 dans chacun des nombres n', n", etc. donnera 
autant de conditions pour que les différents sommets soient 
situés dans les plans des faces auxquelles ils appartiennent, 
et le nombre total de ces conditions sera égal à la somme 
(/2'— 3) -{- (//"— 3 ) -J~ (n"'—3) -J- etc. Mais le nombre des 
termes de cette suite est H— 1 , et d’ailleurs n n" 
-J-etc. = 2 A : donc la somme de la suite sera 2 A — n — 
3 (H — 1 ). Retranchant cette somme de 3S — n — 3 , il res 
tera 3S — 2A-f-3H—6, quantité qui, à cause de S-f-H — 
A + 2 , se réduit à A. Donc le nombie de données nécessaires 
pour déterminer un polyèdre, parmi tous ceux de la meme 
espece, est égal au nombre de ses arêtes. 
Remarquez cependant que les données dont il s’agit nç