Sur Vaire du triangle sphérique
3i4 note x.
traèdres réguliers égaux, il en résultera un solide compris
sous six triangles égaux et équilatéraux. On pourrait encore
former un autre solide avec dix triangles égaux et équilaté-
ra ux ; mais les polyèdres réguliers sont les seuls qui aient en
même temps les angles solides égaux.
Soit i le rayon de la sphere, w la demi-circonférence d’un
grand cercle; soient a, b, c, les trois côtés d’un triangle
sphérique ; A, B, C , les arcs de grand cercle qui mesurent
les angles opposés. Soit A-f-B + C — tt — S; suivant ce
qui a été démontré dans le texte % l’aire du triangle sphé
rique est égale à l’arc S multiplié par le rayon, et ainsi
est représentée par S. Or, par les analogies de Nêper,
on a :
A-f-B C a — b a-\-b
tang ; cot — : : cos : cos ;
2 2 2 2
de là , tirant la valeur de tang ^ (A-f-B) , on en déduira
aisément celle de tang (^A-|-4B + -ïC) — — cot - S : on
aura ainsi
cot ^(i cot } -h-f- cos C
formule très - simple qui peut servir à calculer l’aire d’un
triangle sphérique lorsqu’on connaît deux côtés a, et
l’angle compris C. On peut aussi en déduire plusieurs con
séquences remarquables.
i° Si l’angle C est constant , ainsi que le produit
ci b
cot — cot —, l’aire du triangle sphérique représentée par S,
2 2
%. 3S2. demeurera constante. Donc deux triangles CAB, CDE,
qui ont un angle égal C, seront équivalents , si on a
tang ~ CA ; tang^ CD : : tang ~ CE ; tang^ CB, c’est-à-dire, si
les tangentes des moitiés des côtés qui comprennent l’angle
égal, sont réciproquement proportionnelles.
2° Pour faire sur le côté donné CD et avec le même
