PREMIÈRE PARTIE. 
*es deux valeurs de x qui répondent aux côtés du quadrilatère dontïes 
projections sont des ellipses. Ainsi tous les quadrilatères dont il s’agit 
peuvent être déterminés par des fonctions elliptiques, elles résultats 
deviendront plus simples si on les applique a la zone entière com 
prise entre deux lignes de courbure d’une même espèce. 
La iîgnre 14 pourra servir à faire mieux entendre les constructions que ce 
chapitre suppose. 
AKB est l’ellipse principale dont les demi-axes sont CA = a , CB—b. 
L’ellipse et l’hyperbole auxiliaires sont représentées par ONG et OMI ; elles 
ont pour axes communs CO —A , CG = B. 
Ayant pris sur l'hyperbole auxiliaire OMI un point quelconque M dont les coor 
données sont Ca = si, oM = C , on décrit avec les demi-axes Co = se t Cb—C , 
l’ellipse amC qui sera la projection d’une des lignes de courbure de la première 
espèce 
L’ellipse a'rn'C' représente la projection d’une autre ligne de courbure de la 
même espèce. 
Ayant pris sur l’ellipse auxiliaire ONG un point quelconque N dont les coor 
données sont Ce = a.', eN = C', on décrit avec les demi-axes Ce — Cf~C\ 
une hyperbole emm qui sera la projection d’une des lignes de courbure de la 
seconde espèce. 
L’hyperbole e'nv! représente la projection d’une autre ligne de courbure de la 
seconde espèce. 
Nous avons fait voir qu’on peut déterminer en général par les fonctions 
elliptiques , l’aire de tout quadrilatère formé sur la surface de l'ellipsoïde, qui 
a pour projection mnm'ri. 
De quelques formules générales qui -peuvent se ramener 
aux fonctions 
(i3y). La nature des fonctions elliptiques étant connue et appro 
fondie , il importe de ramener à ces quantités le plus grand nombre 
de formules intégrales qu’il sera possible. Comme la multitude en 
est infinie et aussi variée que les substitutions qu’on peut mettre 
en usage, nous nous contenterons d’indiquer quelques cas où cette 
réduction a lieu. 
I. On peut réduire aux fonctions elliptiques l’intégrale 
nelle de x.