E = fHdq. 
Cette fonction ou transcendante E constitue l’une des espèces 
dans lesquelles nous diviserons la fonction H ; elle se déduit de la 
formule générale en faisant re = o, A=:i, B = — c % . 
C 2 
L’équation de l’hyperbole élantjF® — ( x* — a 2 ), si l’on fait sem 
blablement x = ——, on aura 
cos ç 9 
? — et +< 1 J') = ^ /( 4- «*si»’ip); 
mais pour avoir un radical entièrement semblable à celui de l’arc 
d’ellipse , il faut prendre d’autres dénominations. Soit donc le demi- 
fi g . 2. axe transverse CA=c, son conjugué CB =; h , la distance du 
centre 
16 PREMIÈRE PARTIE. 
■g—• , se réduit à 
une partie algébrique, plus un certain nombre de termes qui peuvent 
chacun être assimilés à la fonction H, il s’ensuit qu’on pourrait 
n’admettre, pour les intégrales dont il s’agit, qu’une seule espèce de 
transcendantes , représentée par la fonction H, et dans laquelle les 
coefficiens A, B, n, seraient à volonté réels ou imaginaires. Mais 
pour bien pénétrer la nature de ces intégrales et pouvoir établir 
entre elles les comparaisons et les réductions dont elles sont sus 
ceptibles , il est nécessaire de diviser la fonction H en plusieurs 
espèces distinctes, dont les propriétés deviendront plus sensibles, 
lorsqu’on les considérera chacune isolément. 
J’observe d’abord que les arcs d’ellipse sont contenus dans la 
¿2 
formule H. En effet, l’équation de l’ellipse étant y 2 = (« a — x 1 ) , 
si on fait x = a sin <p, on aura 
y~b cos tp, et \/(dx 2 (æ® cos*(p-}-£ a sin a <p ), 
formule qui se réduit à dq\/{\ — c x sin 9 <p) , en faisant a-=. i, 
et c 1 = i — b 2 . 
Fig. x. Soit donc le demi-grand axe CA = i, le demi-petit axe CB = £; 
si sur le cercle circonscrit DM'A, on prend l’arc DM' c= et qu’on 
abaisse du point M' la perpendiculaire MP sur le grand axe , on dé 
terminera sur l’ellipse un arc BM = E , dont la valeur sera