520 TROISIÈME PARTIE.
transformée en <p, qui serait de la forme fQdty, devrait être intégrée
depuis <p — o jusqu’à <p = | tt.
En général c’est par la nature de la question qu’on jugera de la
substitution qu’il convient d’employer, préférablement à toute autre,
pour transformer l’intégrale proposée en une autre qui soit comprise
entre des limites finies.
Construction de la courbe dans laquelle Varc s est donné
en fonction de la quantité
(9). Soit s l’are d’une courbe, 6 l’angle que la tangente à l’extrémité
de Parc fait avec la ligne des abscisses, ensorte qu’on ait tang 6
si l’équation de la courbe n’est pas donnée, mais qu’on ait sim
plement l’expression de l’arc s en fonction de l’angle 6, savoir
s = F (8) , et que de cette expression on ne puisse déduire les
valeurs des coordonnées x et^y, parce qu’elles dépendent d’inté
grales trop compliquées , il s’agit de trouver au moins par approxi
mation les valeurs de x et j qui correspondent à une valeur donnée
de l’angle 9.
Puisque s est une fonction connue de 0 , on pourra supposer
ds = Qc$), et alors les valeurs de x et y dépendent immédiate
ment des quadratures , puisqu’on a x=/Qc/8 cos ô ,jr = /Qd9 sinô.
On pourrait donc faire usage de la méthode donnée dans le chapitre
précédent pour calculer les valeurs de æ et de j qui correspondent
à une valeur donnée de 9. Mais la courbe se construira plus
facilement par une méthode particulière que nous allons exposer.
Supposons que depuis un point donné où 8 = et, jusqu’à un
autre point quelconque où 8 a une valeur donnée, on veuille
connaître les valeurs de x et dej" ; on divisera l’intervalle 6 — et
en un certain nombre de parties égales , d’autant plus petites qu’on
voudra pousser plus loin l’approximation. Soit a> une de ces parties,
et n leur nombre, ensorte qu’on ait 8 = et -f- nœ.
Au moyen de l’équation donnée entre s et 8, on calculera succes
sivement les valeurs de 5 qui répondent aux angles a , a, ~j~ a> f
a -f- 2où, , ,at~\-ntù , et ou prendra leurs différences consécutives.
Soit
