rale donne 
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
7^ 
n(— 1 = 
i±í J* L l 0 a A"+ 0 — h) sinçc08(p\ 
2b 4b 53 \A—(1 — b) sinp coscpj' 
Ainsi la fonction de troisième espèce IT(—se réduit indé 
finiment à la première espèce , et on a en particulier pour l’expres 
sion de la fonction complète, 
n'(-i+i}=i+*F'. 
On pourrait, en choisissant d’autres valeurs de p ou d’autres diffé 
rentielles que , parvenir à d’autres formules de réduction pour 
les fonctions H ; mais la plupart de ces formules rentreraient dans 
les deux que nous avons trouvées, ou ne seraient qu’une combi 
naison de ces deux formules et de celles que nous exposerons dans 
le chapitre suivant ; c’est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas 
davantage. 
Comparaison des fonctions elliptiques de la troisième espece. 
(53). Considérons les deux fonctions semblables 
n (?) - f——4* n r .\ \ — r <4 
v ' J ( 1 -f- n SI 
sin 2 p) A (p) 
» n (4) =/(T 
-f- n sin 2 4- ) A 4. * 
et supposons ? comme nous l’avons fait pour les fonctions de la 
première et de la seconde espèce, qu’on a l’équation F (<p) + F (4) 
— F (jn) = o, /4 étant une constante; alors si on fait n(p) + n(4) 
— n (/¿) = Q, 011 aura 
q = /T 7 i 
V J L(i + n si 
]■ 
sin 2 p) A O) (1 -f-7î sin 2 4) A (q,). 
celte intégrale étant prise de manière qu’elle s’évanouisse lorsque 
® = o ou lorsque 4 = ^ 
Mais puisque est constant, on a ■£— 
C dp 
AO) 
n ( sin 2 4-, — sin 2 p) 
o, d’où résulte