DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 89 
A ces trois cas généraux on peut en joindre un quatrième. 
Supposons qu’on ail h z=c° = , ce qui donne h=.— i+\/ 2 J 
et c 2 =—2+2/2, on aura F 1 (¿)===F 1 (c°) = I -^F 1 (c)=-^F 1 (c), 
E 1 (¿) = E‘ (<?°). Substituant ces valeurs dans la formule (d), on aura 
£ = F 1 w L E ‘ (*) + V^E‘ /’) - F 1 (c)]. 
Mais on a d’ailleurs ¿F 1 (o) == ( 1 -J-^)E 1 (c° ) —E 1 ( c ) ; ainsi on 
pourra déterminer E 1 (c) par E 1 (c°), et en général dans la suite 
d’ellipses, formée d’après le module c z= /(2/2—2), la circon 
férence d’une seule ellipse étant connue, on pourra déterminer 
celle de toutes les autres. 
Méthode âlapproximation appliquée aux fonctions elliptiques 
de la première espèce. 
(65). Etant proposée la fonction F (c , <p) dont on veut avoir une 
valeur approchée ,011 calculera les modules décroissais c°, c°°, c 000 9 etc. 
et les amplitudes croissantes <p°, <p oa , <p 000 } etc. par les formules de 
Fart. 60 ; on aura ainsi successivement 
F (*, 9) = + F («•, r) 
1 -F- c° 1 -4- c 00 —, - » 
-±—F(c“ r°) 
— i.~F c °. 1 7F ,r '' J _ p a 0 “’) 
2 2 2 \ ? s 
etc. 
Mais lorsque c est devenu très-petit, on a A = 1 et J” ~ = q>. Soit 
donc $ la limite des angles £ <p°, ~<p oa , ~ <p ooa , etc., limite qu’ils attein 
dront toujours sensiblement au bout d’un certain nombre de termes, 
et on aura la fonction demandée 
F (c, <p) = O (1 -j- c°)T(^Hr c 00 ) (1 + c 000 ), etc. 
Lorsque <p=j-7r , la limite <I> sera pareillement \ , de sorte