QUATRIÈME PARTIE. SECTION I. 5 
On peut distinguer dans les valeurs successives de Ta, plusieurs 
périodes; la première comprise depuis a = o jusqu’à az= i , la 
seconde depuis a= i jusqu’à a = 2, et ainsi de suite à l’infini. 
Cela pose , il résulte de l’èquation précédente que si l’on connaît la 
fonction T dans toute Fétendue d’une de ces périodes, on pourra 
déterminer cette fonction dans toute autre période. 
Par exemple, si la seconde période est donnée , on connaîtra F ~ 
qui appartient à la première période, et F ( f ) qui appartient à 
la quatrième , par les valeurs suivantes, déduites de l’équation (i) , 
r| = 3r(|), r ( i) = r (f ). 
(5). La fonction Ta est la plus simple lorsque a = i ; alors on a 
F(æ)= fdæ z= jc=: i. Donc lorsque a est un nombre entier, an 
a généralement 
Fæ = i.2.5.4 (æ — i ) ; (2) 
c’est-à-dire que la fonction Ta est égale au produit de tous les 
nombres entiers moindres que a. 
Cette notion, fort claire lorsque a est un entier, ne présente plus 
aucun sens lorsque a est fractionnaire ; mais l’analyse y supplée en 
donnant pour valeur de la fonction , 
l’intégrale fdoc 
prise depuis x = o jusqu’à æ= 1 ; intégrale qu’il sera toujours pos 
sible d’évaluer avec tel degré d’approximation qu’on voudra. 
(6). La fonction Ta est très-remarquable par l’utilité dont elle est 
dans la théorie des intégrales définies. Nous pensons qu’il est 
nécessaire de lui imposer un nom particulier, et nous proposons 
de prendre pour ce nom celui de la lettre grecque F. Nous appel 
lerons donc en général gamma du nombre a, le produit de tous les 
nombres inférieurs à «, savoir, 1.2.3 (a— 1 ). 
Lorsque a ne sera pas un nombre entier, le gamma du nombre a 
sera en général une transcendante. Mais nous verrons que ces 
transcendantes ont beaucoup de propriétés, et quelles peuvent