QUATRIÈME PARTIE. SECTION IL 
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DEUXIÈME SECTION. 
§ I. De V intégrale f jjggg, et autres semblables, prises 
depuis z = o jusqu à z = oo. 
(g5). Euler a démontré ( Cale. int., tome I, page 252), qu’en 
supposant les nombres a et n entiers et a <gn, l’intégrale 
J'gggg f prise entre les limites z = o > z = oo, est égale à 
———. Si on met z à la place de z n et - à la place de a, les 
n sm 
limites de l’intégrale resteront les mêmes, et on aura la formule 
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sillûîr’ 
laquelle est démontrée pour toute valeur rationnelle de a plus 
petite que Funité. Mais comme deux quantités rationnelles peuvent 
différer entr’elles aussi peu qu’on voudra, il est évident que la 
formule a lieu pour une valeur quelconque de a, rationnelle ou 
irrationnelle, mais plus petite que l’unité. 
(96). Cette formule, l’une des plus remarquables de la théorie 
des intégrales définies, se lie avec plusieurs autres qui ne méritent 
pas moins d’attention. J’observe d’abord que l’intégrale dont il 
s’agit est composée de deux parties, l’une prise depuis z — o 
jusqu’à z = j , l’autre prise depuis z= 1 jusqu’à z = oo. Pour avoir 
celte seconde partie, il faut mettre ^ à la place de z, et on aura 
l’intégrale qui devra être prise depuis zz=z o jusqu’à z=i, 
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