CINQUIEME PARTIE. § Y. l9î 
au moyen des fonctions Z' (a) dont on a montré l’usage dans le 
§ I. Elle sera d’ailleurs de'terminable par arcs de cercle et par loga 
rithmes , toutes les fois que m sera rationnelle. C’est ainsi qu'on, 
trouve, dans les cas de m= i et m = {, les formules 
dx 
f 
f 
(e* x + e * x ) (i + x*) 
dx 
7T i 
= lo£f 2. 
7CX 1 „—•7TX\ r i i qn O 
m 
§ Y. jDe Vintégrale J' 
x m dx sin x 
cos x 
5i. Supposons d’abord a < i , et soit a = cos Q ; cette valeur 
peut représenter une quantité négative en prenant G>|:r; mais 
pour plus de simplicité , nous supposerons 6 <Ü \ tt , et nous con 
sidérerons séparément les deux intégrales ; 
p Ç x m dx sin x j-v Ç 
J cos x + cos è 9 ^ J 
x m dx sin x 
cos x 
cos 0- 
que nous supposerons prises toutes deux depuis x =o jusqu’à une 
même limite x = et. 
Les quantités P et Q sont des fonctions de et et 6, qu’on peut 
désigner par P(«,G), Q (et, G), et ces fonctions ont cntr’elles 
des relations qui méritent d’être remarquées. On a d’abord 
sm x cos X 
cos 2 0 
ou, en faisant 2x = z, 
' P 4- Q = 2- OT Ç zmdzsinz f 2 = o 
^ J COS Z COS 20* 1 Z Z= 2« 
L’intégrale en z n’est autre chose que la fonction Q dans laquelle 
on mettrait 2ct et 20 à la place de et et 6 ; ainsi on a généralement 
(0 p (^, G)+ Q (a, G) = 2~ m Q(2a,2G). 
52. D’un autre côté, si on ne fait aucune hypothèse sur la gran-