i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 
g IL Recherches ultérieures sur les propriétés des 
fonctions F. 
(20). Considérons la fonction <p{x) exprimée par la suite infinie 
<P {x) = 
X 
+ r • + à 
X 
1 
dans laquelle nous supposerons Si l’on développe cette 
quantité suivant les puissances de x y et qu’on désigne, comme 
ci-dessus, par S„ la somme des puissances réciproques, de degré n, 
des nombres naturels, on aura 
ç (x) =3 S 2 a? — S 3 x 3 + S 4 x 3 — S~ 9 x 4 -f- etc. 
Mais par l’équation (¿y) du n 8 77, deuxième partie, on a 
log F (i + x) = — Cx -f-| S 2 x 2 — | S 3 2: 3 -f- \ S 4 ^ 4 — etc.' 
Différenciant celle- ci et comparant le résultat à la valeur de <p(x), 
on en lire 
= C + , (.0) 
d’où Ton voit que la suite désignée par <p(x) peut être sommée 
immédiatement, au moyen du coefficient différentiel de la fonc 
tion logF(i -}-x), puisque d’ailleurs G est une constante dont la 
valeur a été donnée n° 75. 
Observons que la fonction ç(x) peut être mise sous la forme 
~ + + (g ~ 3T^) + G - 4=f^) + elc ' ; 
alors on voit qu’elle est la différence de deux suites qui ont l’une 
et l’autre une somme infinie, mais qui étant ainsi retranchées 
terme à terme, se réduisent à une quantité finie. Cette quan 
tité est d’ailleurs la même qui a été désignée par C'—N dans 
l’art. 75, et elle représente par conséquent aussi la somme de la 
suite