SUPPLÉMENT. 5
fondions elliptiques complètes F ] (c), E l (c), au moyen de la for
mule de réduction que nous avons rapportée.
La formule générale de la case Y se déduit de celle de la case IV,
en mettant — £ au lieu de ct y et £7r—-a au lieu de €, ce qui
ne change point la valeur du module c y ni par conséquent celles
des fonctions complètes F^c), E'(c).
Les formules de ces deux cases serviront à trouver en général
la valeur des intégrales J'-ÿfijf tang sa a>, J'j^cot*"», et aussi celle de
l’intégrale J* MN sin l” co > puisque ces diverses intégrales peuvent
être décomposées en une suite finie de termes compris dans les
cases IV et Y.
CASE YI.
(10). La même substitution dont on a fait usage dans les deux
cases précédentes donne la formule
/
du sin 2n &)
“MÑ-
cos a. sin £ * ( i — c 2 cos a Ét sin 2 ç)"A 9
intégrale qui doit toujours être prise entre les limites (p
cette intégrale peut en général s’exprimer par les fonctions
complètes F 1 ^), E l (c), IP(—c 2 cos 2 ct, c), au moyen de la formule
de réduction rapportée dans la case YI, formule qui est déduite
de celle de l’art. 9 , première Partie. On peut aussi substituer à la
fonction de troisième espèce n 1 , sa valeur en fonctions de la pre
mière et de la deuxième espèce, donnée par la formule du n° io5;
celte valeur est (en supprimant le module c commun à ces fonc
tions)
n- (-C* cosV) = F 1 4- [F'E(i *r - a) _ Ë>F(iw - a)].
Si on observe ensuite que d’après l’équation i=&tang(^r—a)lang£,
On a (n* 57)
î*(i^r — a) rr-F 1 —F(£)
E(|vr—flt) = E*— E(£)-}-c 2 cosc£ sin£,
la valeur de IP pourra s’exprimer ainsi ;
