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EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
CASE X Y I.
(5o). Par les formules des cases I, II, IV, Y et VI, on peut
connaître en général la valeur de l’intégrale cos m a sin"«,
quels que soient les nombres entiers rn et n, positifs ou négatifs;
pourvu que m~\-n soit pair. Les formules de la case XY1 don
neront la valeur de cette intégrale lorsque m -f- n sera impair.
Soit pour cet effet sin 2 o) = sin 3 ct cos 2
=
sm 2 £(i— c 3 sm 2 <|>), et c 2 = I — on aura en general
/
da cos a sin 5 ”«
MN
= si n an - , £/A 2 ' t - 1 i/
Cette intégrale devra être prise depuis
ainsi elle ne dépendra en général que des deux fonctions com
plètes F’(c), E l (c). 11 en sera de même de l’intégrale générale
f da CQSa * P dtp l_
J MN sin 2 ' 1 *' siJ A 2 "' 4 ' 1 sin Q sin 2ri û. J ^ 9
et ainsi on a, quel que soit n,
da cos a i C da cos a sin 571 «
fi
A
MN sin 27I £y sin 271 # sin 2,t £./ MN
Par la même substitution, on trouve en général
da l C dtp
f
MN cos in ~'a
sin£ cos 27I £
h
-j- c 2 tang E £ sin 2
dp
intégrale qui, étant réduite d’après la formule do la case VI,
pourra toujours s’exprimer par les trois fonctions complètes F ■(«),
E'(c), IT(c 3 tang 3 £, c) ; et cette dernière, comme on sait, peut
être exprimée en fonctions de la première et de la deuxième es
pèce, par la formule du n° 96.
Les trois autres formules générales de la case XVI, se déduisent
des trois précédentes par le seul changement de et en — £, et
de £ eu 17r — et.
