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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

* IV'V\AW> VWWA(W> VVl'l\ >^WW^Wl l WVW' l VV''VVI'VV^W l V\^VWWA | W\VVWVAlW\V\ , ''\\MV\ l \(Vt l WV\ / VV>TYfK)V^'
AVERTISSEMENT.
Dans le Discours placé en tête du premier volume de ce Traité, on
a fait connaître les principales améliorations que l’auteur avait appor
tées à la théorie des fonctions elliptiques, publiée précédemment dans
ses Exercices de Calcul intégral. L’une des plus considérables est la
découverte d’une seconde échelle de modules, differente de celle qui
était seule connue à cette époque ; l’auteur l’a développée dans le
chap. XXXI du tome I, et l’on doit observer que cette découverte date
du commencement de 1826, puisque le tome I, qui la contient, a été
présenté à l’Académie des Sciences dans sa séance du 12 septembre
de la même année. La seconde échelle dont il s’agit complétait, à
beaucoup d’égards, les travaux de l’auteur dans cette théorie ; elle
offrait une route facile pour parvenir à plusieurs beaux résultats d’Ana-
lyse, qu’il n’avait pu démontrer jusque là que par des intégrations très
laborieusesj la nouvelle échelle des modules pouvait se déduire d’un
module donné, par de simples extractions de racines quarrées et cu
biques, ce qui fournissait des approximations beaucoup plus rapides
que celles qu’on obtient par l’ancienne échelle; enfin, par la combinai
son des deux échelles, on pouvait multiplier d’une manière prodigieuse
les transformations des fonctions de la première espèce, ce que l’auteur
avait rendu sensible en construisant une sorte de damier, infini dans
ses deux dimensions, dont toutes les cases pouvaient être remplies par
les diverses transformations dont est susceptible une seule et même
fonction. Il n’était donc guère probable qu’on pût aller plus loin dans
cette partie de la théorie |des fonctions elliptiques.
Cependant un jeune géomètre, M. Jacohi de Kœnigsberg, qui n'avait
pu avoir connaissance du Traité des Fonctions elliptiques, dont la pu
blication ne date que de janvier 1827, était parvenu, par ses propres
recherches, à découvrir non - seulement la seconde échelle dont nous
venons de parler, qui se rapporte au nombre 5, mais une troisième qui
se rapporte au nombre 5, et il avait acquis déjà la certitude qu’il doit
en exister une semblable pour tout nombre impair proposé.