DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 
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)bi. Au reste, 
que deux de 
mbre qui est n 
le., en passant 
|ue le nombre 
prodigieuse, à 
en plus éloigné 
\ 
§ III. Autre sorte de développement des mêmes fonctwiis 
trigojiùrnétriques de Vamplitude. 
125. Revenons à l’expression de sin <p de l’art. 120, et appelant il le 
produit des facteurs binômes, 
/ V v _.s fs — ? 3 V a .1—.1— ? 6 V a -etc., 
—v ; .etc., 
supposons que ce produit, continué à l’infini, soit égal à la suite 
A .(y—y- 1 ) + A a (Y 3 —Y -3 ) + A 3 (V 5 —Y"" 5 ) + etc., 
A,, A,, A 3 , etc., étant des coefficiens indépendans de Y. Si, dans les 
deux expressions de il, on met <7 Y à la place de Y, on devra avoir 
l’équation 
(W-î-Y-) i 1 1 -?‘ V ‘ - etc - 
w v ? qi_V—.1—?*Y—.1—.etc. 
= A t (<?Y—Y -1 ) -|-A a («7 3 Y 3 — <7 -3 Y -3 ) + A 3 (^ 5 Y 5 —7~ 5 V- 5 )+etc. 
Or, en retranchant les facteurs égaux dans les premiers membres de ces deux 
équations, ils se réduisent, le premier, à (Y—Y“”')(i—^ a Y a ); le second 
à (<jrY— q~ l Y~ , )(i—Y~ a ). Celui-ci est égal au précédent, multiplié par 
— donc, si l’on multiplie le second membre delà première équa 
tion par ^Y a , et qu’à ce produit on ajoute le second membre de la seconde, 
la somme devra être zéro; on aura donc l’équation identique 
o = A t Y+ A a Y 3 + A 3 Y 5 +A<Y 7 + etc. 
— A .Y + A t p\ 3 + A a </ 4 Y 5 + A 3 q*Y 7 + etc. 
— A,Y -1 — A a Y~ 3 — A 3 Y -5 — A 4 Y“ 7 — etc. 
— A a ^” a Y —1 —A 3 ^ —4 Y —3 —A 4 <7~ 6 Y*" 5 —•A 5 <7'~ 8 Y~ 7 —etc. 
Par les puissances positives de Y, on obtiendra les équations de condition 
A a + A,9 a =o, A 3 + A a ^ 4 =o, A 4 + A 3 q G = o , etc.; 
et comme les puissances négatives donnent les mêmes équations , on en dé 
duira les déterminations suivantes ; 
A a = — A,<7% A 3 = —A a </ 4 = A,«/ 6 , A 4 = 
A 5 = — A 4 <7 8 =— etc, ; 
donc enfin on a il ou 
— A 3 /=A, ? -,