DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 
I I r 
§ Y. Usage de ces formules pour diverses sortes 
d’approximations, 
137. Si l’on connaît le rapport des deux fonctions complètes K' et K, 
K/ 
et qu’on appelle cl ce rapport = — > on connaîtra immédiatement la cons 
tante q = e — X7r , dont le log. hyp. = — cltt. Cela posé, il sera facile de cal 
culer, avec tel degré d’approximation qu’on voudra, la fonction K au moyen 
de la formule 
K = ^ (1 4- 2(j + 2 f ■+• 2<7 9 + 2q ï6 + etc. )• ; 
elle sera toujours très convergente si l’on désigne par k le plus petit des 
deux modules complémentaires k et k\ ou par K la plus petite des deux 
fonctions complètes K, K', qui répondent à ces deux modules. Par ce 
moyen, la quantité q sera plus petite que —g, et la série précédente, bornée 
à ses quatre premiers termes, savoir R = ^ ( 1 -f- 27 + 2q* + 2y 9 )“, suffira 
pour donner la valeur de R, exacte jusqu’à 20 décimales au moins. Connais 
sant R, on connaîtra en même temps R' = aR. 
i38. Dans le même cas où q est donné immédiatement, on trouvera les 
modules k et k' par les formules suivantes, qu’on choisira à volonté, 
(>4) 
I 
y/K = 
I 0.q 4- 217* 25'â_4_2ÿ l6 etc. 
1 4" 27 H- 2ÿ + -f- 2^9 -f- 25 16 4 etc. ’ 
i t/k _^(i+? a 4-? 6 +? la 4- g 10 -f- etc.) 
zV 1 4-27-*-20+4-209 + 23-^4 etc. ’ 
A p __ I — 2ÿ 2 4- V — 25 18 4- 2ÿ 3a — etc. 
I 4-2<7 + 2ÿ4 q-2^9 4_ 2y‘ 6 4-etc. * 
i/k' = 1 ~ q ~~ ? 3 + ÿ6 + C U ~ qXi ~ -b etc 
” ï 4- q 4- q 3 4 </ 6 4- q 10 4- q' 5 4- 5 a * 4- etc. ’ 
V 1 4- <y a + g 6 4- <7 la 4- g 80 4- etc. 
* 1 4-5 4-5' 4~5 6 4- 5' 0 4-etc. 
La comparaison des valeurs de \ {/k et \ij\/k donne cette propriété 
générale, qui mérite d’être remarquée: 
(i+5+5'+5 6 +5'° + etc. y = (ï4.^4264.2'>.4^04. etc.) (1423^ 2344239 4 e tc,). 
On trouvera de même, par la comparaison des valeurs de \/k! et \/k!, cette