PREMIER SUPPLÉMENT. 
3 
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je continuerai 
remarquable , 
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ût 1828. 
es transformations 
lus grand nombre 
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§ I". Démonstration du théorème 1” de M. Jacobi. 
1. Soit p un nombre impair pris à volonté, F (A, <p) une fonction ellip 
tique de première espèce, dont le module donné est A, et dont l’amplitude 
(p peut avoir une valeur quelconque depuis zéro jusqu’à l’infini. Appelons 
ct m la valeur particulière de <p qui, pour un nombre entier quelconque m, 
donne F (k, ct m ) = F 1 A. Au moyen de l’amplitude variable <p et des 
angles constans ct 1 , ct 3 , ct 5 ,... ct p _ a , déterminons une seconde amplitude 4 
par la formule trigonométrique 
(0 tang (45° — i 4) 
=tang(;45 0 q=|<p). 
tang-» (rt,—tp) tang^ («<3+p) tatl gK d 5-<?) tangj(a p _ a =t<p] 
tang £ («ï-hiO * tang5 («s—<P)'tang^(rt5+<P) tang i (a p _ a =pp) ’ 
011 l’on prendra le signe supérieur si p = l\i -f- i , et l’inférieur si 
P = 4 i — 1 • 
La loi d’accroissement des variables <p et 4 sera développée ci-après ; 
il suffit, pour le présent, de remarquer que la valeur de (p étant comprise, 
comme on peut toujours le supposer, entre ct in _ 1 et a an+l , celle de 4 sera 
comprise entre (2n — 1) ^ et [211 -f- 1) Cela posé, voici en quoi consiste 
le théorème général que nous voulons démontrer : 
« D’après la relation entre les amplitudes <p et 4 donnée par l’équa- 
» tion (1), toute fonction donnée F (k, <p) peut être transformée en une 
» autre F (h, 40 j de sorte qu’on aura 
( 2 ) Ÿ{k, <p) = 4), 
» le module h et le régulateur p, étant des constantes qu’on pourra 
y) toujours déterminer en fonctions du module donné h et du nombre 
» donné p. » 
On aura , par exemple, pour cette détermination, les formules 
i 
2^ 
sin a 3 
sm rtj sin a 3 • sin «5 ■ sin £t p _ a 
h = 2A/z (sin a, — sin ct 3 -f- sin a 5 .... rp sin a, p _ % rfc ■£•). 
Et, parce qu’on a en même temps (p^^-vr et 4 — l’équation (2) 
donnera dans ce cas F»A = paF»A, ou K. = ppdEi, en désignant, comme 
nous le ferons ci-après, par R et H les fonctions complètes F»A et F'//. 
!..