DEUXIÈME SUPPLÉMEM 1 . 
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moyen 
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§ X. Seconde manière d? exprimer les fonctions à paramètre 
loga/ ithm ique. 
185. Puisque la fonction ©(<7, oc) peut être exprimée par l’intégrale 
T (A:, <p) = J'E(Æ, <p), ainsi qu’on l’a vu dans l’art. 176, il s’ensuit 
que la fonction dont le paramètre est —A*sin a a pourra s’exprimer par 
le moyen de cette même intégrale, ce qui sera un perfectionnement no 
table apporté à la découverte de M. Jacobi; car, d’une part, on n’aura 
pas besoin de la table auxiliaire, qui servirait à calculer la quantité q 
par le moyen du module donné k ; et d’autre part, il sera plus facile de 
construire une table des valeurs de l’intégrale T(k, <p), d’après les don 
nées immédiates k et <p, les mêmes qui sont employées pour trouver les 
fonctions F(yf, <p) et E(k, <p), qu’il ne le serait de calculer la table des 
fonctions ©(7, oc), d’après de nouvelles données q et x. Ajoutez à cela 
que la méthode des ordonnées moyennes, qui a contribué beaucoup à 
faciliter le calcul de la table IX, s’appliquerait avec non moins de suc 
cès au calcul des intégrales ^ E(A;, , puisque l’ordonnée ^, 
qui répond à chaque degré de l’amplitude <p, est déjà connue presque 
entièrement par la valeur de E(A, <p) comprise dans la table. Faisons voir 
d’abord comment on peut parvenir directement à la nouvelle formule de 
réduction. 
186. Soient (p' et <p" des amplitudes, telles qu’on ait pour le module 
commun k, 
F<p' = F<p — Fa , 
F<p"= F<p + Fa * 
on aura en même temps 
E<p' -f- Ea — E<p = k % sin a sin <p sin <p', 
Ecp -f- Ea — E<p r '= k* sin a sin sin • 
d’ailleurs, les amplitudes <p' et ç” se déduisent des amplitudes <p et a, 
par les formules connues 
. sinffl cos«A« — sin«cos0AÆ 
Sin ® = ; : -—- , 
I — k sm « sin a <p 
sin <p r/ = 
sin <P COS «Ace —|— sin « COS<pA<p 
1 — t* sin 5 « sin 5 (p 
Tome 111. 
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