¡4 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
et l’équation H = —- i qu’il faut vérifier sera 
Q ( i — A a sin* et m sin* ctp m ) = 2 Q'Q". 
i5. Pour réduire cette équation, il faut d’abord poser le lemme suivant, 
qu’il est facile de déduire de l’équation (3), 
X sin a d m 
/ SU! 2 dp ai i COS dm+ai COS m—ii 
(i4) ^— = _j_ ; 
v X—it SlU« m sm «ai COS 2 «ai 
le signe ambigu du second membre ne sert qu’à rendre les deux membres de 
même signe. 
Au moyen de ce lemme, la quantité désignée par Q s’exprimera par des 
produits de cosinus dont on pourra négliger les signes, sachant que le résultat 
doit être positif; ce produit est 
j COS « m 4-p i COS «m-f-p—3 COS &m-+p—5* • • • • • COS «m-t-a 
COS ct m —p-f-i COS ®t(n_p_j.3 COS d,n—p_j_5 ...... COS d m —a 
COS a « p _, COS a «p_3 COS 2 «£p_5 COS a «a 
Si, pour plus de simplicité, on écrit seulement les indices de a, on aura à 
considérer l’expression symbolique 
m p — l, m p — 3, m -f> p — 5 m -\- 2. 
m — p -4- i, m — p -f- 3, m — -f- 5 m — 2 
(¡P—1» — 3 » p— 5 2) a 
Dans ces expressions où l’indice n est mis à la place de cos les termes 
représentant des facteurs qui doivent être multipliés entre eux, tant au 
numérateur qu’au dénominateur, il faut observer que — n peut être rem 
placé par -f-w, et que p~\-n peut l’être par p — n, par la raison que... 
cos (a_,) = cos (—a n ) = cosa tt , et que les amplitudes a p + n étant 
telles qu’on a F (a p _ n )+F [a p+n )=:{p—n) — -\~[p~\~7i) 2K, il en ré 
sulte a p _» + 180 0 — -tt, et par conséquent cos ct p + n =: —cos a p _ m ; 
or, on est convenu de n’avoir pas égard aux signes des cosinus, puisqu’on 
sait que le résultat total doit être positif. Ainsi, l’indice p-\~n désignera 
le môme facteur que — n. Cela posé, l’expression précédente peut être 
écrite ainsi : 
77i4-2, m-\~ 4> • • • • m ~\-p— 
m — 2, m — 4,.... o, — 2, — 4.... m —-f* 1 
(2.4.6 p— iyT. ’ 
Le terme o dans le numérateur peut être omis, parce qu’il indique le fac 
teur cos ol 0 ou cos o ou 1 ; les facteurs négatifs peuvent être changés de