3
■ üp—m
émentaires, on a
= i ; donc enfin
toute valeur de m
s les facteurs de U.
: à tout facteur du
nt encore un terme
[ — k% sin a ct m )T,
P artie le
premier membre,
T — XJV
* 2^UV' 5 011 seu_
par cette substitu-
PREM1ER SUPPLÉMENT. i 7
tude 4 pourra être calculée par la formule trigonométrique (i) ou par
des formules équivalentes.
Ayant passé ainsi du module donné h au module plus petit h, on pas
sera, par des formules semblables, du module h à un module plus petit h x ,
et ainsi à l’infini; ce qui formera l’échelle des modules dans l’ordre décrois
sant k, h, h l , kg,... jusqu’à la limite zéro. Cette suite peut être continuée
à l’infini dans l’ordre inverse, au moyen de l’équation algébrique qui existe
entre les deux modules k et h, et qui permet de déterminer le module k
par le moyen du module plus petit h ; on déterminera donc semblablement
le module k, par le module plus petit k, de même, kg, par k t , et ainsi de
suite ; ce qui produira pour tout nombre impair donné p, une échelle de
modules infinie dans les deux sens, ainsi représentée
Lim. i),,. . /3, k a , k,, k, h , h t , h % , 7z 3 ;.... (Lim. o
et la fonction donnée F(Æ, <p) pourra, en vertu du théorème général, être
transformée en une infinité d’autres qui auront pour modules les differens
termes de cette échelle. Tout se réduit à la résolution d’un certain nombre
d’équations algébriques ; mais nous reviendrons sur cet objet après avoir
démontré le second théorème général de M. Jacobi, qui sert de complé
ment au premier, et qui offre un second moyen de transformation, appliqué
à la meme échelle pour le nombre p.
;r membre ; donc ,
’a qu’on ait H , = i
tre dit, l’équation
lée sous la forme
équation (i3) de-
les valeurs trou-
;ste rien à désirer
e de M. Jacobi.
ion préalable des
tes h et (M qui en-
et l’ampli-
§ II. Démonstration du théorème II de AI. Jacobi.
19. D’après la démonstration que nous avons donnée du théorème I er , il
est constant qu’on satisfait à l’équation F (k, <p) piF(h, 4)? aussi bien
qu’à sa différentielle
dx _ dy
»/(■ — *"). — —ywc J —Ayj ’
qui suppose sin <p = oc et sin 4 =./, au moyen des formules qui donnent
l’expression dey en fonction de x, et qui déterminent les constantes h et p,
en fonctions du module donné k et du nombre impair donné p.
Et puisque, par la substitution de j en fonction de x, les deux membres
de l’équation différentielle deviennent identiques, ce résultat, considéré
analytiquement, doit avoir lieu pour toutes valeurs de x et de plus pe
tites ou plus grandes que l’unité, réelles ou imaginaires, pourvu qu’elles
satisfassent à l’équation de l’art. 7 , et que les constantes k, h, fj1 restent les
mêmes.
