THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
Remarque. — Supposons que le pointM s’éloigne indéfiniment,
tendra vers 0. Au contraire, 'V'm log — tendra vers—oo.
Ainsi l’on peut dire qu’à l’infini le potentiel newtonien s’annule,
au lieu que le potentiel logarithmique est égal à — oc .
4. Equation de Laplace. — Formons les dérivées secondes
Ô 2 Y ô 2 Y 0 2 V
—-r, -v—5, -r—5, du potentiel newtonien en un point distinct des
ox“ oy- oz-
points attirants.
é 2 V ^ ( a — x ) 2 111
Ox 2 /j r 5 /j r 3
0 2 V
ô y
YV
:ìV...
Dz
n c-
m
V —
Zj r 3
y m
i~r r *
Ajoutons ces trois relations membre à membre et appelons,
suivant la notation connue, AY la somme des trois dérivées
secondes que nous venons de calculer ; il vient :
AV
3 T
n x
m ——
a) 2 + (y — b) 2 -j- (z — c) s
=3 y”- 3 V4=o.
/j r'
Le potentiel newtonien satisfait donc, dans Vespace à trois
dimensions, à Véquation de Laplace AV = 0 en tout point distinct
des points attirants.
Pareillement, le potentiel logarithmique satisfait, dans le plan,
d*V " 0 2 V A „ , .
U que l on écrit encore
à Véquation de Laplace - —
Dy 2
AY —0. On a en effet pour ce potentiel :
0 2 V
éx 2
0 2 V
Oy 2
2 V m
Là
2^ m
( a
(b-y) 2
VI m
'LTF'
Y m
'2j r 2 •
