CHAPITRE IV
LÀ FONCTION DE GREEN ET LE PROBLÈME DE DIRICHLET
60. Théorème de la moyenne de Gauss. — Soit V une fonc
tion des trois variables x, y, z, continue ainsi que ses dérivées
premières dans un certain domaine; supposons que ses dérivées
secondes existent et soient généralement continues, les disconti
nuités, s’il y en a, se trouvant sur des surfaces algébriques
d’ailleurs quelconques.
Soit, en outre, M 0 un point de ce domaine et 2 une sphère,
ayant pour centre M 0 et située dans le domaine considéré ; on
appelle motionne de la fonction V sur cette sphère l’expression :
l’intégrale étant étendue à tous les éléments du de la surface de
la sphère et r étant le rayon de cette sphère. Soit enfin V 0 la
la valeur de V au point M 0 .
Le théorème de la moyenne de Gauss est le suivant : Si la fonc
tion V satisfait à l’équation de Laplacc
AV = 0,
en tout point du domaine, on a la relation :
M = V Q ,
quel que soit r.
Pour démontrer ce théorème, changeons de variables et pas
sons en coordonnées polaires; les formules de transformation
sont :
x = r sin (I cos »,
y = r sin 0 sin »,
z = r COS fj,
