FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICIILET 171 
newtonien dû a des masses dont la densité variable est p/; la 
deuxième intégrale est étendue au volume T'j et représente un poten 
tiel newtonien dû à des masses dont la densité est - l —f- . Ce sont 
a 
donc deux fonctions continues ainsi que leur différence. Or cette 
différence est nulle sur S t et en particulier au point M 0 , donc 
cette différence tend Vers zéro quand M tend vers M„. La fonc 
tion Y, qui est comprise entre zéro et une quantité qui tend vers 
zéro, tend donc vers zéro. 
Deuxième cas : p. < O. 
Alors Y est négatif et l’on démontre de la même manière 
que : 
Y, compris entre O et une quantité qui tend vers zéro, tend 
vers zéro quand M tend vers M 0 . 
Troisième cas : p quelconque. 
On peut poser : 
p/j étant égal à y. quand p. est > 0 et nul partout ailleurs, p/ â au 
contraire étant égal à p. quand p. est < 0 et nul partout ailleurs ; 
p/j et p/, sont continues comme p.. On donne ainsi naissance à 
deux fonctions et \ / i correspondant à p.', et pcÇ ; elles ren 
trent dans les deux cas précédents et tendent vers zéro quand M 
tend vers M 0 . Il en est donc de même de Y = Y / 1 -j-Y 2 qui 
correspond à p.. 
Ainsi, en général, quel que soit le signe de p., Y tend vers 
zéro quand M tend M 0 . 
La fonction Y satisfait aux quatre conditions du problème de 
Dirichlet transformé : c’est la solution cherchée. 
En résumé les trois problèmes : de Dirichlet ordinaire, de 
Dirichlet transformé, de Green sont équivalents. 
78. Cas du potentiel logarithmique. — Ces résultats s’étendent