RÉSOLUTION DU PROBLEME DE DIRIC1ILET 170 
rectilignes rectangulaires de ce point et p, co ses coordonnées 
polaires. On a : 
x = p COS (O 
y —P sin co. 
Cela posé, on veut trouver une fonction continue V possédant 
des dérivées partielles des deux premiers ordres elles-mêmes 
continues et vérifiant les conditions suivantes : 
AV — 0 ;i l’intérieur de C, 
Y = cp (10) sur le contour de C, 
<z> (co) étant une fonction donnée. Si cette fonction satisfait à la 
condition de Dirichlet, on peut la développer en série de Fourier : 
cp (to) = A 0 -f-\ A n COS n (0-f-\ B n sin 11(0. 
1 1 
Posons alors : 
Y = A u -(-^^ A n p"cos 1K0 —(— y B n p n sin îuo. 
1 1 
Je dis <pie Y est la solution cherchée. 
Remarquons que nous avons supposé implicitement le rayon du 
cercle C égal à l’unité. S’il était égal à R, il faudrait écrire : 
\ — A 0 + y A n cos n(Q+yB„ 
R 
Mais rien ne serait changé pour cela aux raisonnements qui 
vont suivre. 
Etudions la fonction V. Plaçons-nous d’abord en un point situé 
à l’intérieur du cercle C. En un tel point, on a : 
p < 1 • 
Prenons p 0 tel 
que : 
?<?«< B 
Cela est possible. D’autre part il est facile d’assigner une limite