CHAPITRE VII
RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET
LA MÉTHODE DU BALAYAGE
116. Enoncé du problème de Dirichlet. -— Soit un domaine 1
limité par une surface fermée S. Le volume considéré est sup
posé connexe, mais son ordre de connexion peut être quelconque.
Enfin appelons 3> une fonction continue définie en tout point
de S : cette fonction, d’ailleurs arbitraire, est regardée comme
donnée.
Cela posé, nous nous proposons de construire une lonetion \
jouissant des propriétés suivantes :
1° Y est^harmonique dans tout domaine 1 contenu a l’inté
rieur de T.
2° La valeur V M de Y en un point quelconque M (x, y, z) de T
tend vers la valeur Mo de ( I» en un point M 0 (x u , y 0 , z 0 ) de S, quand
le point M tend vers le point M 0 en suivant un chemin quelconque
assujetti seulement à ne pas sortir du domaine T.
C’est en cela que consiste le problème de Dirichlet.
Nous venons d’énoncer le problème de Dirichlet intérieur. On
peut aussi se poser un problème semblable pour le cas où le
domaine T est formé de la portion de l’espace située à l’exté
rieur de S. C’est ce que l’on appelle le problème de Dirichlet
extérieur. Lorsque l’on étudie ce nouveau problème, on impose
à la fonction cherchée Y une nouvelle condition : celle d'être
régulière à l’infini, c’est-à-dire de s’y comporter comme un poten
tiel newtonien.
Nous avons déjà vu (§ 64) que le problème de Dirichlet ne
peut pas admettre plus d’une solution. Nous allons montrer qu’il
