CHAPITRE VIII 
RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICIILET 
LA MÉTHODE DE NEUMANN 
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135. Principe de la méthode de Neumann. — La méthode du 
balayage, exposée au chapitre précédent, fournit une démons 
tration rigoureuse et générale du Principe de Diriehlet. La 
méthode de Neumann, dont nous allons nous occuper mainte 
nant, a le même but. Au point de vue de la généralité, elle est 
inférieure à la méthode du balayage. Mais elle a l’avantage de 
bien mettre en évidence l’identité des fonctions harmoniques et 
des potentiels newtoniens. 
Nous étudierons concurremment le problème intérieur et le 
problème extérieur de Diriehlet. Nous nous placerons dans le 
cas de l’espace a trois dimensions. Mais ce n’est que pour fixer 
les idées. On verra sans peine (pie les raisonnements peuvent 
encore être faits quel que soit le nombre des variables indépen 
dantes. 
Considérons une surface fermée S limitant un domaine inté 
rieur T et un domaine extérieur T'. Nous supposerons que la 
surface S possède en chacun de ses points un plan tangent 
unique et deux rayons de courbure principaux bien déterminés. 
Cela posé, nous voulons résoudre le problème de Diriehlet à la 
fois pour le domaine T et pour le domaine l v . 
La méthode de Neumann consiste à chercher une double couche 
portée par S dont le potentiel newtonien soit précisément la 
fonction harmonique inconnue que l’on veut construire. 
Nous verrons que l’on peut toujours réussir ii déterminer la 
double couche en question dans le cas du problème intérieur. 
Mais, pour le problème extérieur, il n’en est plus ainsi. 11 est 
POINCARÉ. Potent. Ncwt. 1Q