POTENTIEL LOGARITHMIQUE D'UNE CIRCONFÉRENCE il
ce qui exige que l’on ait :
et, par suite,
Y
12. Potentiel logarithmique d’une circonférence. — Soit une
circonférence attirante homogène, dont le centre est à l’origine
des coordonnées. Proposons-nous de calculer le potentiel loga
rithmique Y en un point M de son plan. Remarquons que Y est
une fonction de deux variables seulement, x et y, et qu’à l’inté
rieur comme à l’extérieur de la circonférence, cette fonction
satisfait à l’équation de Laplace :
(4)
Y-Y
Ox 2
0 2 V
w
ü.
Dans le cas particulier qui nous occupe, la circonférence étant
homogène, Y ne dépend (pie de la distance p du point attirant
au centre. Nous pouvons alors transformer l’équation aux dérivées
partielles (4) en une équation différentielle linéaire et du second
ordre. On a en effet :
0 2 V
Ox 2
•>
0“ =
1
= x 2 + y 2 ,
OV
dV x
Ox
dp p ’
OY
dV y
Oy
dp ? ’
dY
*\
x 0 /dV'
. d ?
7/
l
ii
1 °-
h
X 2
d 2 Y
dV / 1
0 “
dp 2
^ d? V .0
dV 0
dp ôx
d’où :
0 2 V y 2 d 2 V
1 clv (' 1
Oy 2 p 2 dp 2
dp \ p
0 2 V ô 2 V
d 2 V
Ox 2 1 Oy 2 -
' do 2
1 dY
do