FORMULE DE GREEN
Retranchons membre à membre ces deux dernières relations :
dV dU
-¡ V —:—
f (U A Y — YAU) àx =
dw.
dn dn
Les fonctions U et V doivent être finies, continues et admettre
des dérivées premières continues et également finies. Elles doi
vent avoir, en outre, des dérivées secondes finies et intégrables ;
les discontinuités de ces dérivées, s’il y en a, doivent se trouver
sur une surface algébrique.
Les théorèmes sont encore vrais pour des aires planes limi
tées par des contours fermés. On les exprime de même, en rem
plaçant les éléments de volume d-r par des éléments de surface
et les éléments de surface dto par des éléments du contour envi
sagé ; les intégrales triples deviennent doubles ; les doubles
deviennent simples.
20. — Replaçons-nous dans l’espace a trois dimensions et lai-
sons U = L dans la formule de Green; elle deviendra :
Faisons maintenant U=V, au lieu de U=1 ; la formule de
Green donnera :
/2®'
ÍUAUdx = f U
àx.
Si, en outre, U satisfait à l’équation de Laplace AU = 0, on
obtiendra finalement :
1 1 & J dn
formules seront utilisées dans la suite.
Tous les théorèmes que nous venons de démontrer s’appli
quent à des volumes connexes, quel que soit leur ordre de cou-
