h
J I
THÉORIE DU ROT EN TI EL NEWTONIEN
où [jl u désigne un nombre positif supérieur à |u[; cette série
converge comme la série (b). Enfin comparons notre série (c) à
la série étudiée (a). Tous les termes de (a sont inférieurs en module
ii ceux de (c) ; or (c) est une série il termes positifs et elle converge ;
donc (a) est absolument convergente.
La relation (2) est donc justifiée.
Ainsi le potentiel newtonien est développable autour de l’ori
gine en série entière procédant suivant les puissances de x, y, z.
On peut effectuer, de même, le développement au voisinage
d’un point quelconque (x 0 y 0 z 0 ) extérieur aux masses; le déve
loppement procède alors suivant les puissances de x — x 0 ,
' } o> ^ V
On peut donc énoncer en général le théorème suivant : an
voisinage d'an point (x u , y t) , ."J extérieur aux masses agissantes,
le potentiel newtonien est une fonction holomorpke, c’est-à-dire
développable en série entière procédant suivant les puissances
croissantes de x — x 0 , y — ig, z —y.
La démonstration n’a été faite que pour un volume attirant;
elle s’applique évidemment sans modification au cas d’une dis
tribution quelconque de masses.
25. Autre développement en série du potentiel newtonien. —
Considérons maintenant (fig. 20 un volume attirant I et un
point M extérieur à ce volume, situé de telle sorte qu’on puisse
tracer une sphère - contenant le volume T tout entier, mais lais
sant le point M ;i son extérieur.
Prenons le centre O de cette sphère comme origine des coor
données.
Si o,p',y et r ont les mêmes significations que précédemment,
EU
[o" — 2 pp' cos y p /2 j
i i i 1 i J
i
r. „ p'
i — 2-— cos y +
(y) J
/ /2
/n
+P,
J V + p, J V+
?■ P
+ P» “7ÏÏTT + ^n-
!j
étant
ii l’extérieur de -
, on peut construire une
