MODELES NUMERIQUES 
RECONSTITUTION PAR KRIGEAGE DE LA SURFACE 
TOPOGRAPHIQUE Ä PARTIR DE DIVERS SCHEMAS 
D’ECHANTILLONNAGE PHOTOGRAMMETRIQUE 
J.P. CHILES et P.. DELFINER 
Centre de Morphologie Mathématique de 
Fontainebleau 
INTRODUCTION Ecole des Mines de Paris. 
Les cartes topographiques obtenues par restitution photogrammétrique sont assez précises 
mais demandent un travail assez long. Or beaucoup d'applications n'exigent pas une trés grande 
précision, si bien qu'on peut se demander si des méthodes plus rapides ne pourraient pas donner 
des résultats satisfaisants. Dans ce but nous avons fait une étude expérimentale d'une partie de la 
carte de Noirétable au 1:25 000. L'idée consiste à ne retenir qu'un échantillonnage photogrammé- 
trique de quelques centaines de points et à reconstituer la carte à partir de ces points par une mé- 
thode d'interpolation. Nous avons comparé trois schémas d'échantillonnage différents ; le premier 
comprend des points caractéristiques situés essentiellement sur des lignes de niveau ; le second 
est un échantillonnage des lignes de crête et de talweg ; le troisième comprend le schéma pré- 
cédent additionné d'un semis complémentaire. 
3 
Il va de soi que la méthode d'interpolation a une grande influence sur la qualité des résul- 
tats. Si on veut limiter au strict nécessaire le nombre de points à retenir, il est indispensable d'uti- 
liser une méthode qui tire le meilleur parti possible de l'information qui lui est fournie. La théorie 
des variables régionalisées, développée par G. Matheron au Centre de Morphologie Mathématique 
de Fontainebleau, répond à cette condition. Elle a déjà été appliquée dans de nombreux domaines 
comme l'estimation minière ou forestière, la bathymétrie, la météorologie ... En topographie, 
des méthodes analogues, mais moins générales, ont été développées, notamment par K. Kraus et 
E. M. Mikhail [voir ref. 5 et 9]. 
Avant d'exposer l'étude qui a été faite, nous allons présenter les grandes lignes de la 
théorie appliquée ici. Pour plus de détail, le lecteur pourra consulter les ouvrages de G. Matheron 
cités en référence. 
LA THEORIE DU KRIGEAGE 
LES BASES CONCEPTUELLES DU KRIGEAGE 
  
La variable que l'on étudie, ici l'altitude, est une fonction Z(x) du point x (nous utilisons 
pour plus de simplicité une notation à une dimension). Mais, comme toutes les variables que l'on 
rencontre dans les sciences du globe, c'est une fonction qui présente un double aspect, aléatoire 
et structuré. Une bonne méthode d'interpolation doit impérativement rendre compte de ces deux 
aspects complémentaires. Ce caractère aléatoire et structuré suggère de raisonner en termes 
probabilistes. La variable étudiée est considérée comme une réalisation de fonction aléatoire, 
c'est-à-dire comme le résultat d'un tirage au sort parmi un ensemble de fonctions analogues. La 
théorie des fonctions aléatoires généralise aux espaces à plusieurs dimensions la théorie des pro- 
cessus stochastiques qui, elle, ne fait intervenir qu'une dimension, le temps. Nous nous intéres- 
sons plus particulièrement aux fonctions aléatoires qui possèdent des moments d'ordre 2 : 
E[Z(x)] 
E [Z(x) - m(x) ] [Z(y) -m(y)] 
(le symbole E désigne l'espérance mathématique). 
y g q 
- une moyenne  m(x) 
I 
- une covariance C(x, y) 
En pratique, ces fonctions m(x) et C(x, y) sont inconnues au départ. Comme on ne dispose 
que d'une seule réalisation, on est obligé, pour pouvoir les déterminer, de faire des hypothéses 
supplémentaires. La plus simple consiste à faire l'hypothése stationnaire ; alors m(x) est cons- 
tante et C(x, y) ne dépend que du vecteur y-x : 
E [ Zo ] =m 
E[Z(x+h)-m] [2(x)-m] = C(h) 
- 49 - 
étuc 
une 
et n 
1/1 
une 
a, S 
bas: 
2/1 
rial 
pri: 
éve 
un ( 
irr: 
l'or 
LE 
opti 
Z(x 
Z(x 
con 
que 
au