Éléments De Géométrie, Avec Des Notes

Legendre, Adrien Marie; Didot, Firmin

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 1019124989

Author:: Legendre, Adrien Marie

Title:: Éléments De Géométrie, Avec Des Notes

Scope:: 1 Online-Ressource (3 ungezählte Blätter, 8, 431 Seiten,14 gefaltete Blätter mit Bildtafeln)

Edition title:: Neuvieme Édition

Year of publication:: 1812

Place of publication:: Paris

Publisher of the original:: Didot

Identifier (digital):: 1019124989

Language:: French

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Printer:: Didot, Firmin

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2018

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: NOTES SUR LES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: NOTE VIII. Sur la proposition XXV, livre VII.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

NOTE Vili. 30 6 drilateres, c le nombre des pentagones, etc. qui composent la surface d’un polyèdre ; le nombre total des faces sera a ~h b -f- c + d-\~ etc., et le nombre total de leurs côtés sera 3 a + 4 b + 5c + 6rf+etc. Ce dernier nombre est double de celui des arêtes, puisque la même arête appartient à deux faces , ainsi on aura etc. 2 A = 3« -f~ 4 4 -f- 5c-J-6c/-f- etc. Et puisque, suivant le théorème dont il s’agit, S + H=rA -J-2 , on en tire 2 b — 4 ~î~ ^ “f- 2 h —{— 3 c —{— [y d-J- etc. Une première remarque que fournissent ces valeurs, c’est que le nombre des faces impaires a-j-c~j-e-f-etc. est tou jours pair. On peut faire pour abrégerOJ = è-|-2c-J-3c/-f- etc., et alors on aura A — | H -hi co, S = 2-h T H co * Ainsi dans tout polyèdre on a toujours A>|H, et S > a -f-4 H, où il faut observer que le signe > n’exclut pas l’éga lité, attendu qu’on pourrait avoir co — o. Le nombre de tous les angles plans du polyèdre est i A, celui des angles solides est S, de sorte que le nombre moyen des angles plans qui forment chaque angle solide, est 2 A Ce nombre ne peut être moindre que 3, puisqu’il faut au moins trois angles plans pour former un angle solide ; ainsi on doit avoir 2 A > 3S, le signe > n’excluant pas l’égalité. Si on met au lieu de A et S leurs valeurs en H et co, on aura 3 H + co > 6 -J- y H -f- f w, ou 3 H > 12 -f- co. Remettant les valeurs de H et co en a, è, c, etc., il en résultera 3« -|- ih c > 12 —|— e -f- if-\- 3^-f- etc. d’où l’on voit que a, h, c, ne peuvent pas êti’e zéro à-la- fois, et qu’ainsi il n’existe aucun polyèdre dont toutes lés faces aient plus de cinq côtés. Puisqu’on a H > 4 + i 10 5 substitution dans les valeurs de S et de A donnera S > 4 -f- f w , et A > 6 -J- 00. Mais en même temps on a co < 3H—12 ; et de là il résulte S < 2 H—4 ?

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