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AVERTISSEMENT. 
Dans le Discours placé en tête du premier volume de ce Traité, on 
a fait connaître les principales améliorations que l’auteur avait appor 
tées à la théorie des fonctions elliptiques, publiée précédemment dans 
ses Exercices de Calcul intégral. L’une des plus considérables est la 
découverte d’une seconde échelle de modules, differente de celle qui 
était seule connue à cette époque ; l’auteur l’a développée dans le 
chap. XXXI du tome I, et l’on doit observer que cette découverte date 
du commencement de 1826, puisque le tome I, qui la contient, a été 
présenté à l’Académie des Sciences dans sa séance du 12 septembre 
de la même année. La seconde échelle dont il s’agit complétait, à 
beaucoup d’égards, les travaux de l’auteur dans cette théorie ; elle 
offrait une route facile pour parvenir à plusieurs beaux résultats d’Ana- 
lyse, qu’il n’avait pu démontrer jusque là que par des intégrations très 
laborieusesj la nouvelle échelle des modules pouvait se déduire d’un 
module donné, par de simples extractions de racines quarrées et cu 
biques, ce qui fournissait des approximations beaucoup plus rapides 
que celles qu’on obtient par l’ancienne échelle; enfin, par la combinai 
son des deux échelles, on pouvait multiplier d’une manière prodigieuse 
les transformations des fonctions de la première espèce, ce que l’auteur 
avait rendu sensible en construisant une sorte de damier, infini dans 
ses deux dimensions, dont toutes les cases pouvaient être remplies par 
les diverses transformations dont est susceptible une seule et même 
fonction. Il n’était donc guère probable qu’on pût aller plus loin dans 
cette partie de la théorie |des fonctions elliptiques. 
Cependant un jeune géomètre, M. Jacohi de Kœnigsberg, qui n'avait 
pu avoir connaissance du Traité des Fonctions elliptiques, dont la pu 
blication ne date que de janvier 1827, était parvenu, par ses propres 
recherches, à découvrir non - seulement la seconde échelle dont nous 
venons de parler, qui se rapporte au nombre 5, mais une troisième qui 
se rapporte au nombre 5, et il avait acquis déjà la certitude qu’il doit 
en exister une semblable pour tout nombre impair proposé.