go FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
Si l’on fait = on aura = = R', et £ = ; donc 
sin A {k y iK/) = i tang - 7T = co. 
ii2. Ce résultat 5 dû à l’amplitude imaginaire iK/, paraît fort remar 
quable, mais il n’est qu’un cas particulier de la formule générale 
co sm^ce+¿¡co=^, 
que nous allons démontrer. 
Si Ton a les deux fonctions %=z¥(k, <p) , Ô=F(Æ, a), il résulte des 
formules connues (art. iB, tom. I er ) que le sinus de l’amplitude d’une 
fonction égale à £ -\~ 0, se détermine ainsi 
sin A (£ -+- 0) = 
sin tp COS etAct -f- sin et cos <pA<p 
i —A: a sin a <«sin a (p 
Faisant dans cette formule 6 = iR, ce qui donne sin et- 
cosa=y/(i— sin*a) = sin et. y/— i, Aa = v/( r —A:* sin* et) = k sin et, \/—~ i, 
cos et Aet = — k sin* et, on aura 
ou 
sin A (% -}- ¿R') 
sin A (£ -f- ¿K') 
— h sin <p sin a * + sin* cos ç»A(p _____ i 
— A a sin a et sin a (p 
k sin <p 
k sin^(|) ’ 
Cette formule est l’expression d’un théorème fondamental d’où se dé 
duisent un grand nombre de propriétés des fonctions elliptiques. 
On en tire d’abord cos A(£~f- ¿R') = ||y, A^(£) étant rais pour 
V/[i—k % ivcfA ( £)] ; on a ensuite 
AA(£ + *') = i œt A(g), cot A{£ + ¿K.') = iAAg). 
n3. Si, dans l’équation (i), l’on met £+iR' à la place de on aura 
sin A{£ 21K ) = ks[n j g _j_ = sm A (%). 
Mettant dans celle-ci Ç -f- 2îR' à la place de on aura de nouveau 
sin^(£ -f- 4îR / ) = sin ^ (£ + 2îR') = sin A(%) ; 
donc, en général, ni étant un nombre entier quelconque, positif ou né 
gatif, on aura 
(a) sin A{^ -f- 2/nhR') == sin A(£). 
On ne change donc point le 'sinus de l’amplitude d’une fonction Ç ou