8 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
Par définition : 
-^-= p /f ( x + K y y *) № —f p'f (x,y» z) dx'J , 
quand h tend vers 0, ce qui donne : 
ôV .. r ,r„. . . h 
(2) 
Jx limj'^rf.tx) + 4- f V (x + 6Ii)].1t'0<6 < 1. 
Il est facile de voir que : 
h J(x + Oh, y, z) ch', 
tend vers 0 avec h; car, en vertu des inégalités (1), on a : 
f"* 2 (x + eh, y , z) 1 
< 
r désignant la distance au point x', y', z' du point M" qui a pour 
coordonnées x 8h, y, z (fig. 2). Or, quel que soit le point 
x', y', z', r est inférieur à M" Q, Q désignant le point du volume le 
plus rapproché du point M". Bref on a : 
(3) 
fV (x+eh, y , z ) 
/—L, 
\ M"Q 
De plus, lorsque h tend vers zéro, M tend vers M et M' Q 
tend vers une limite differente de zéro, puisque M est extérieur 
au volume attirant; donc le produit : 
hi’V (x + ôh,y, z), 
tend vers zéro avec h et, en vertu de la relation (2), on a : 
/» /» . / 1 \ 
OV 
Ox 
p3 v x (x,y, z) dx'= / u'- 
Ox 
dV, 
ce qui démontre la proposition annoncée. 
Remplaçons maintenant—^ * — par sa valeur,-^-prend la forme 
Ox 
Ox 
/V^ch' = X.