POLYNOMES DE LEGENDRE 
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l 
Ì 
V 
P 
1 nf* ? 
sont absolument convergentes ; on peut multiplier les deux der 
nières membre à membre et écrire 
i — 2 p cos y + 
r J 
a p a n e'T (n p) p n+p ’ 
en posant 
(3) 
1.3 (2 P — 1) 
p 2.4..... 2 p 
Comparons les formules (i) et (3); ou en tire : 
P y or o'ï (n p ^ ' 
1 n+p / 
le signe S portant sur l’ensemble des ternies pour lesquels la 
somme n + p a la même valeur. 
Les a étant réels et positifs, le maximum de P n+p a lieu 
pour y = 0 ; on en conclut : 
^ y«.v 
Or faisons y = 0 dans l’expression de A ; il vient : 
1 
l —? 
On a donc : 
1+P + P 2 + P 3 + + P"+. 
V 
a n a p = 1 
le signe S portant comme plus haut sur l’ensemble des termes 
tels que n + p = C te . Bref on a : 
Pn 
^ 1 
l’égalité ayant lieu pour y = 0. 
Cela posé, supposons p >0; la série