DEVELOPPEMENT EN SÉRIE DE POLYNOMES SPHÉRIQUES /,9 
(xx' -f- yy' + zz') 2 et x 2 -f- y 2 + z 2 et, par suite, entier, homogène 
et de degré 2p par rapport à x, y, z. Quant à P 2p + 1 , il est entier 
et de degré 2 p -f- 1 par rapport à : 
xx' + yy' -(- zz' 
\/ su —)— y —)— z - 
il est donc égal au produit de cette expression par un poly 
entier et de degré p par rapport à 
y no me 
enfin le produit P 2p + t p 2p + 1 11e contient plus de radical et est 
homogène et de degré 2p -f- 1 en x, y, z. Bref, quelle que soit 
la parité de n, P n p n est un polynôme entier, homogène et de 
degré 11 en x, y, z. 
Si l’on considère alors le terme général de la série (2) 
on voit que ce terme est aussi un polynôme entier en x, y, z, 
homogène et de degré 11. 
On démontre en outre que ees polynômes X n satisfont à l’équa 
tion de Laplace 
AX n = 0. 
Ce sont des polynômes sphériques, car on appelle, en général, 
de ce nom des polynômes homogènes en x, y, z satisfaisant à 
l’équation de Laplace. Le potentiel Y est ainsi développé en 
série de la forme 
Y 
Donc le potentiel newtonien est développable en série de poly 
nômes sphériques autour de Vorigine, quand l'origine est exté 
rieure aux masses agissantes. 
Dans ce développement, les termes de même degré sont grou 
pés ensemble ; si l’on essayait de les grouper autrement, la série 
pourrait cesser d’être convergente. 
C’est la un fait général pour les séries qui ne sont pas absolu- 
romcARÉ. Potent. Newt. 
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