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J I 
THÉORIE DU ROT EN TI EL NEWTONIEN 
où [jl u désigne un nombre positif supérieur à |u[; cette série 
converge comme la série (b). Enfin comparons notre série (c) à 
la série étudiée (a). Tous les termes de (a sont inférieurs en module 
ii ceux de (c) ; or (c) est une série il termes positifs et elle converge ; 
donc (a) est absolument convergente. 
La relation (2) est donc justifiée. 
Ainsi le potentiel newtonien est développable autour de l’ori 
gine en série entière procédant suivant les puissances de x, y, z. 
On peut effectuer, de même, le développement au voisinage 
d’un point quelconque (x 0 y 0 z 0 ) extérieur aux masses; le déve 
loppement procède alors suivant les puissances de x — x 0 , 
' } o> ^ V 
On peut donc énoncer en général le théorème suivant : an 
voisinage d'an point (x u , y t) , ."J extérieur aux masses agissantes, 
le potentiel newtonien est une fonction holomorpke, c’est-à-dire 
développable en série entière procédant suivant les puissances 
croissantes de x — x 0 , y — ig, z —y. 
La démonstration n’a été faite que pour un volume attirant; 
elle s’applique évidemment sans modification au cas d’une dis 
tribution quelconque de masses. 
25. Autre développement en série du potentiel newtonien. — 
Considérons maintenant (fig. 20 un volume attirant I et un 
point M extérieur à ce volume, situé de telle sorte qu’on puisse 
tracer une sphère - contenant le volume T tout entier, mais lais 
sant le point M ;i son extérieur. 
Prenons le centre O de cette sphère comme origine des coor 
données. 
Si o,p',y et r ont les mêmes significations que précédemment, 
EU 
[o" — 2 pp' cos y p /2 j 
i i i 1 i J 
i 
r. „ p' 
i — 2-— cos y + 
(y) J 
/ /2 
/n 
+P, 
J V + p, J V+ 
?■ P 
+ P» “7ÏÏTT + ^n- 
!j 
étant 
ii l’extérieur de - 
, on peut construire une