Algebraische Gleichung. 58 Algebraische Gleichung, 
sind nun die Wurzeln der ersten Gl. n, m, 
so ist nach No. 11 
a= — {m +'n) und b = m»n 
demnach die Wurzeln der zweiten Gl. 
b ± a + 1 = m • n =,= {m -f n) + 1 
= ( n »=Fl)(»=Fl) 
woraus für quadratische Gleichungen zu 
nächst das Gesetz erwiesen ist, und für 
Gl. aller Grade sich erweisen läfst. 
Eben so ist zu ersehen, dafs man das 
absolute Glied, worauf allein es ankommt, 
erhält, indem man die einzelnen Glieder 
zusammen zählt, wenn man in die Gl. 
* = ± 1 setzt. 
Für ?/ + l = * erhält man das absolute 
Glied in dem obigen Beispiel =—11760 
für y — l=x dasselbe = — 20736 
Die einfachen Factoren von 11760 sind: 
2, 2, 2, 2, 3, 5, 7, 7 
von 20736 sind: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 9, 9 
Yon den Factoren der ursprünglichen 
Gl. geben nur folgende, ± genommen, 
um +1 vermindert, Factoren von 11760 
+ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 22 
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 20, 39, 55 
Yon den Factoren der ursprünglichen 
Gl. geben folgende, um + 1 vermehrt, 
Factoren von 20736 
+ 2, 3, 5, 8, 11, 15, 143 
- 1, 2, 3, 4, 5, 10, 13, 33, 55 65 
In beiden Proben finden sich folgende 
übereinstimmende Factoren, welche also 
Wurzeln sein können: 
+ 2, 3, 5, 8, 11, 15 
- 2, 3, 4, 5, 13 
und auf diese 11 Zahlen ist jetzt die Probe 
mit der ursprüglichen Gleichung einge 
schränkt, 5 derselben sind Wurzeln, 6 
derselben sind es nicht. 
Man erhält den Werth der Gleichung: 
für * = + 2 = —5670 
* = + 3 = 0 
* = + 5 = + 6480 
* = + 8 = 0 
* = + 11 = 0 
*= + 15 = + 188160 
*=- 2 = — 21450 
* = - 3 =-18480 
* = - 4 = —11340 
* = — 5 = 0 
* = -13 = 0 
Man hat also für die gegebene Glei 
chung die Wurzeln 
+ 3, +8, +11, -5,-13 
und das Aggregat derselben entsteht aus 
dem Product: 
(*-3) (*-8) (*-11) (* + 5) (*+13) 
28. Auflösung höherer Gleichun 
gen, wenn die Wurzeln irrational 
sind. 
/1. Die Gleichung sei: 
*“ + 8* 2 +l6*-440 = 0 
Durch Probiren suche eine Zahl, welche 
von einer wirklichen Wurzel der Gl. um 
weniger als eine Einheit verschieden ist. 
Man findet für * = 4 den Werth der Gl. 
+ 8, so dafs die wirkliche Wurzel w etwas 
geringer als 4, aber mehr als 3 beträgt. 
Setze nun w = 4 — y, so erhält man 
(4- yY + 8(4 - y) 2 +16 (4 - y) - 440 = 0 
Um die Gl. nach y zu ordnen, erhält 
man: 
(4-1/) 4 =256 - 256w+ 96w 2 - 16« 3 + V 4 
8 (4-?/) 2 = 128- 64?/ + 8tf 
16(4-?/) = 64- 16 y 
Da nun y ein nur kleiner Bruch ist, 
so kann man, um der Wurzel vorläufig 
näher zu kommen, die höheren Potenzen 
von ?/ unberücksichtigt lassen, und dann 
erhält man: 
448 -336?/ -440 = 0 
woraus 2/ = 3§e = ¿ = 0,02381 
mithin *=4-0,02381 = 3,97619 
Setzt man diesen Werth in die gegebene 
Gl., so findet man mit Hülfe der Loga 
rithmen : 
+ *“= + 249,9588 
+ 8* 2 = +126,4807 
+ 16* =+ 63,6190 
+ 440,0585 
der Werth der Gl. also nur noch 
+ 0,0585 
B. Es ist mithin die Wurzel noch 
etwas geringer als 3,97619; will man 
dieselbe genauer bestimmen und man 
setzt wieder: 
* = (3,97619 — *) 
so erhält man wieder bei blofser Berück 
sichtigung der einfachen Potenzen von *: 
4x3,97619 3 x* = 251,4556«* 
64x3,97619 • * = 254,4762.* 
hierzu 16,0000«* 
521,9318.* 
Es ist also 440,0585—521,9318 .*—440=0 
woraus a = 0,0585 
521,9318 
log 0,0585 = 0,7671559-2 
log 521,9318 =2,7176138 
log des Quotienten = 0,0495421-4 
und der Quotient * = 0,000112 
ab von __3,97619 
giebt die nähere Wurzel = 3,976078 
Mit Hülfe der Logarithmen findet man : 
* 4 = + 249,9306 
8* 2 = + 126,4736 
16* =+ j)3,6172_ 
440,0214 
mithin der Werth der Gleichung noch 
+ 0,0214