SECONDE PARTIE, CHAP. XIIL 
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CHAPITRE XHL 
Extension de la méthode précédente, aux fonctions d'un nombre 
quelconque de variables. Problème de la brachystochrone. 
Caractères pour distinguer si une fonction proposée est ou non 
une fonction prime, ou en général une fonction dérivée d'un 
certain ordre. 
71. La fonction proposée dont la fonction primitive doit être un 
maximum ou un minimum , pourrait contenir , outre les variables x 
et y , une troisième variable z, indépendante des deux autres • on 
opérerait alors, relativement à cette variable, comme on a fait 
relativement à y. Ainsi, en désignant la fonction proposée par 
f o, *"•••)> 
on j substituera à la fois les quantités y + « et z + Ç à la place 
de y et z, et il faudra, après le développement, que la fonction 
primitive de la partie qui ne contiendra que les premières dimen 
sions de (à , où', cù \ etc., £, £ r , etc. soit nulle, et que la fonction 
primitive de la partie qui contiendra les secondes dimensions de ces 
mêmes quantités, soit positive pour le minimum, et négative pour 
le maximum, indépendamment des quantités a et 
De là, par une analyse semblable à celles de l’article 62, et en 
conservant aussi pour les fonctions primes relatives k z, z', z", etc., 
une notation semblable à celle que nous avons employée relative 
ment à j, y', y", etc., on aura ces deux équations 
f' Cr ) - [f' (/)]' + [f' C/')]" -etc. = o, 
f ( * ) - Lf' ( *' )]' +1 f/ ( *")]" ~ etc.= 
qui serviront à déterminer les quantités y et z eu fonctions de x\.