3o2 THÉORIE DES FONCTIONS. 
80. On voit par ià que l’ordonnée 2 d’une surface est îa double 
fonction prime prise par rapport à x et y de la fonction qui ex 
prime le volume ou la solidité du corps , et que la quantité 
s/14- est la double fonction prime de la fonction qui ex 
prime la surfàce elle-même. 
Ainsi l’ordonnée z étant donnée en fonction de x et j, il faudra 
prendre sa double fonction primitive pour avoir la solidité, et la 
double fonction primitive de z r2 z* pour avoir la surface. 
On est libre de commencer par la fonction primitive relative à x 
ou h j ; mais la première fonction primitive admettra pour constante 
une fonction del’autre variable qu’on aura regardée comme constante, 
et il faudra déterminer cette fonction conformément aux limites 
données de la surface. On déterminera ensuite, d’après ces limites, 
la première variable en fonction de la seconde, par rapport à 
laquelle on prendra de nouveau la fonction primitive. 
81. Si pour faciliter la recherche des doubles fonctions primi 
tives , ou pour d’autres vues, on voulait changer les variables 
x, j en d’autres variables i et «, dont celles-là seraient des 
fonctions données, il faudrait, par les principes établis dans la 
première Partie ( art. 5o ), multiplier d’abord les fonctions regar 
dées comme dérivées doubles par x'f ; mais ensuite on ne pour 
rait pas substituer immédiatement les valeurs de x',j' en t' et u\ 
parce qu’en prenant la fonction primitive par rapport à l’une des 
variables, l’autre doit être regardée comme constante. 
Soit f{x,j) la fonction dont il s’agit d’avoir la double fonc 
tion primitive; pour changer les variables x,j en d’autres variables 
t et u, on la mettra d’abord sous la forme x'yf{x,j). Suppo 
sons qu’à la place de la variable x, par rapport à laquelle on veut 
prendre d’abord la fonction primitive en regardant j comme cons 
tante, on substitue une fonction donnée de t et dej, t étant une 
nouvelle variable qui remplacera x. 
Soit x = ç(t,7), on aura, en ne faisant varier que t,