PREMIÈRE PARTIE, CHAP. IL 
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CHAPITRE IL 
Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme. 
8. Nous avons vu que le développement de f(x-f-i) donne 
naissance à differentes autres fonctions p, q, r, etc., toutes déri 
vées de la fonction principale fx, et nous avons donné la manière 
de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais pour éta 
blir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la 
loi générale de leur dérivation. 
Pour cela, reprenons la formule générale 
f (oc -f- i ) = fx -\-pi -f- #4- r/ 3 4* etc., 
et supposons que l’indéterminée x devienne x +o, o étant une 
quantité quelconque indéterminée et indépendante de il est visible 
que f ( x -f- i) deviendra f(jc+i-f-o) ? et l’on voit en même temps 
que l’on aurait le même résultat en mettant simplement i -f- o à la 
place de i dans f [x -f- i ). Donc aussi, le résultat doit être le même, 
soit qu’on mette, dans la série £r ■+-pi-h- <ji* 4" ri 3 —j— etc., i o a la 
place de i, soit qu’on j mette .r-f- o au lieu de x. 
La première substitution donnera 
w <1 
£r-f-p ( i -f- o ) 4- ^ ( i4" °)*4"( i 4“ °y 4- etc. j 
savoir, en développant les puissances de ¿ff-o, et n’écrivant, pour 
plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puis 
sance , parce que la comparaison de ces termes suffira pour les 
déterminations dont nous avons besoin, 
ÎX -4- pi -j- qi* + ri 3 -}- Si 4 -}- etc. ; 
-j- po -f- zqio -f- 3ri % o “f- 4si s o -f- etc.